収束条件とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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収束条件

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/04/26 16:59 UTC 版)

S から M への函数列 {fn} が「各点毎に」コーシーであるとは、各 x ∈ S に対して列 {fn(x)} が M 内のコーシー列であることをいう。これは一様コーシーよりも弱い条件である。一般に、列は、各点毎にコーシーであっても各点毎に収束するとは限らず、また一様コーシーであっても一様収束するとは限らない。しかし、距離空間 M が完備であるなら、各点毎にコーシーであるような任意の列は、S から M へのある函数に各点毎に収束する。また同様に、任意の一様コーシー列はそのような函数に一様収束する。一様コーシー性は、S が只の集合ではなく位相空間であり、M が完備距離空間である場合にも頻繁に用いられる。次の定理が成り立つ： S を位相空間とし、M を完備距離空間とする。このとき、連続函数 fn : S → M からなる任意の一様コーシー列は、唯一つの連続函数 f : S → M に一様収束する。

※この「収束条件」の解説は、「一様コーシー列」の解説の一部です。
「収束条件」を含む「一様コーシー列」の記事については、「一様コーシー列」の概要を参照ください。

収束条件

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/08 00:57 UTC 版)

「一般化された超幾何関数」の記事における「収束条件」の解説

超幾何級数 r F s [ a 1 , … , a r ; b 1 , … , b s ; z ] {\displaystyle _{r}F_{s}[a_{1},\dots ,a_{r};b_{1},\dots ,b_{s};z]} は、 r < s + 1 {\displaystyle r s + 1 {\displaystyle r>s+1} であれば発散する。 r = s + 1 {\displaystyle r=s +1} の場合は、 | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} であれば絶対収束し、 | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} であれば発散する。 | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} の場合は、 ∑ ℜ a j < ∑ ℜ b j {\displaystyle \textstyle \sum \Re {a_{j}}<\sum \Re {b_{j}}} であれば絶対収束し、 ∑ ℜ a j > ∑ ℜ b j {\displaystyle \textstyle \sum \Re {a_{j}}>\sum \Re {b_{j}}} であれば発散する。但し、 a j {\displaystyle a_{j}} 又は b j {\displaystyle b_{j}} が正でない整数 k ∈ Z ∖ N {\displaystyle k\in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} } である場合は、 ( a j ) n ≥ k = 0 {\displaystyle (a_{j})_{n{\geq }k}=0} となって z < ∞ {\displaystyle {z}<\infty } で収束、或いは ( b j ) n ≥ k = 0 {\displaystyle (b_{j})_{n{\geq }k}=0} となって z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} で発散する場合がある。