超幾何級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/08 00:57 UTC 版)
「一般化された超幾何関数」の記事における「超幾何級数」の解説
級数 ∑ n = 0 ∞ t n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }t_{n}} の連続する項の比が n の有理関数であるとき、これを超幾何級数（hypergeometric series）という。慣習的にはあらかじめ初項を括り出しておき、定義に t0 = 1 も含め正規化する。定義から t n + 1 t n = P ( n ) Q ( n ) {\displaystyle {\frac {t_{n+1}}{t_{n}}}={\frac {P(n)}{Q(n)}}} となる n の多項式 P(n), Q(n) が存在する。 たとえば指数関数のテイラー級数 ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}} は超幾何級数で、この場合 t n = z n n ! , t n + 1 t n = z n + 1 {\displaystyle t_{n}={\frac {z^{n}}{n!}},\quad {\frac {t_{n+1}}{t_{n}}}={\frac {z}{n+1}}} ゆえ P(n) = z, Q(n) = n + 1 となる。 分母分子を一次式の積へ分解することで有理関数を P ( n ) Q ( n ) = ( a 1 + n ) ( a 2 + n ) ⋯ ( a r + n ) ( b 1 + n ) ( b 2 + n ) ⋯ ( b s + n ) z n + 1 {\displaystyle {\frac {P(n)}{Q(n)}}={\frac {(a_{1}+n)(a_{2}+n)\dotsm (a_{r}+n)}{(b_{1}+n)(b_{2}+n)\dotsm (b_{s}+n)}}{\frac {z}{n+1}}} の形に書くことができる。ここで z は分母分子の最高次係数の比である。歴史的な理由により分母の因子 n + 1 を仮定しているが、必要なら分子に同じ因子を掛ければよいので一般性は失わない。以上から級数は ∑ n = 0 ∞ t n = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 ) n ⋯ ( a r ) n ( b 1 ) n ⋯ ( b s ) n z n n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dotsm (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}\dotsm (b_{s})_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}} の形に書くことができる。この右辺を通常 r F s [ a 1 , a 2 , … , a r b 1 , b 2 , … , b s ; z ] {\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]} と表記する。
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