超平面と双対射影空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/23 08:58 UTC 版)
射影空間 KPn の斉次座標 [x0 : x1 : ... : xn] に対して、方程式 a0x0 + a1x1 + ... + anxn = 0 はその解となる点の定数倍も解となるため、KPn の閉集合を定める。(a0, a1, ..., an) が 0-ベクトルでなければこれは真の閉集合である。これを射影空間の超平面という。KPn の超平面は KPn−1 と同型（あるいは同相）である。 上述の一次方程式は、係数 (a0, a1, ..., an) を定数倍しても解集合は不変である。従って、KPn の超平面は比 [a0 : a1 : ... : an] と1対1に対応している。KPn の超平面全体をパラメータ付けする空間はこの対応で KPn と同一視できる。これを双対射影空間 (dual projective space) という。 同様の理由で、射影空間 KPn の点 p = [a0 : a1 : ... : an] に方程式 a0y0 + a1y1 + anyn = 0 で定まる Kn+1 の n 次元部分ベクトル空間 Vpを対応させる対応は1対1の対応である。KPn の自明なベクトル束 K'n+1 × KPn の部分ベクトル束 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} を V = { ( v , p ) ∈ K n + 1 × K P n ∣ v ∈ V p } {\displaystyle {\mathcal {V}}=\{(v,p)\in K^{n+1}\times KP_{n}\mid v\in V_{p}\}} で定め、 O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} を商束 Kn+1 × KPn/ V {\displaystyle {\mathcal {V}}} とすると、 O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} は普遍直線束 O ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)} の双対直線束と同型になる。これを超平面直線束 (hyperplane line bundle) と呼ぶ。
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