超幾何定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 00:57 UTC 版)
ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に z = 1 {\displaystyle z=1} を代入するとガウスの超幾何定理を得る。 F ( a , b ; c ; 1 ) = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∫ 0 ∞ t a − 1 ( 1 − t ) c − a − b − 1 d t = Γ ( c ) B ( a , c − a − b ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) ( ℜ a + ℜ b < ℜ c , c ∉ Z ∖ N ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(a,b;c;1)&={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{\infty }t^{a-1}(1-t)^{c-a-b-1}dt\\&={\frac {\Gamma (c)\mathrm {B} (a,c-a-b)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\\&={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}\qquad (\Re {a}+\Re {b}<\Re {c},c\not \in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} )\\\end{aligned}}} となる。更に a = − n {\displaystyle a=-n} を代入するとヴァンデルモンドの恒等式（英語版）を得る。 F ( − n , b ; c ; 1 ) = Γ ( c ) Γ ( c − b + n ) Γ ( c + n ) Γ ( c − b ) = ( c − b ) n ( c ) n {\displaystyle F(-n,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-b+n)}{\Gamma (c+n)\Gamma (c-b)}}={\frac {(c-b)_{n}}{(c)_{n}}}}
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