オイラー積分表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 00:57 UTC 版)
ガウスの超幾何関数はオイラー積分で表される。 F ( a , b ; c ; z ) = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∫ 0 1 t a − 1 ( 1 − t ) c − a − 1 ( 1 − t z ) − b d t ( 0 < ℜ a < ℜ c , | z | < 1 ) {\displaystyle F(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\qquad (0<\Re {a}<\Re {c},|z|<1)} これは F ( a , b ; c ; z ) = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ⋅ Γ ( a ) Γ ( c − a ) Γ ( c ) ⋅ ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n ( c ) n n ! z n = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∑ n = 0 ∞ Γ ( a + n ) Γ ( c − a ) ( b ) n Γ ( c + n ) n ! z n = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∑ n = 0 ∞ B ( a + n , c − a ) ( b ) n n ! z n = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∑ n = 0 ∞ ( ∫ 0 1 t a + n − 1 ( 1 − t ) c − a − 1 d t ) ( b ) n n ! z n = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∫ 0 1 t a − 1 ( 1 − t ) c − a − 1 ( ∑ n = 0 ∞ ( b ) n n ! ( t z ) n ) d t = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∫ 0 1 t a − 1 ( 1 − t ) c − a − 1 ( 1 − t z ) − b d t {\displaystyle {\begin{aligned}F(a,b;c;z)&={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\cdot {\frac {\Gamma (a)\Gamma (c-a)}{\Gamma (c)}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}\;n!}}z^{n}\\&={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+n)\Gamma (c-a)(b)_{n}}{\Gamma (c+n)\;n!}}z^{n}\\&={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\sum _{n=0}^{\infty }\mathrm {B} (a+n,c-a){\frac {(b)_{n}}{n!}}z^{n}\\&={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(\int _{0}^{1}t^{a+n-1}(1-t)^{c-a-1}dt\right){\frac {(b)_{n}}{n!}}z^{n}\\&={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(b)_{n}}{n!}}(tz)^{n}\right)dt\\&={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\\\end{aligned}}} として導かれる。
※この「オイラー積分表示」の解説は、「超幾何関数」の解説の一部です。
「オイラー積分表示」を含む「超幾何関数」の記事については、「超幾何関数」の概要を参照ください。
- オイラー積分表示のページへのリンク
