オイラー＝ラグランジュ方程式の共変性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/04 17:10 UTC 版)
「解析力学」の記事における「オイラー＝ラグランジュ方程式の共変性」の解説
簡単のために、前節に引き続き2次元平面上で考える。適当な一般化座標を q1, q2 として、直角座標 x, y を一般化座標で x = x ( q 1 , q 2 ) y = y ( q 1 , q 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=x(q_{1},q_{2})\\y&=y(q_{1},q_{2})\end{aligned}}} とおく (ここでは時間 t に陽には依存しないものとする)。両辺を時間 t で微分すると次の式を得る： x ˙ = ∂ x ∂ q 1 q ˙ 1 + ∂ x ∂ q 2 q ˙ 2 , {\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2},} y ˙ = ∂ y ∂ q 1 q ˙ 1 + ∂ y ∂ q 2 q ˙ 2 {\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}} 従って ·x, ·y に対して ·q1, ·q2 は線形であり、次の式が成り立つ： ∂ x ˙ ∂ q ˙ i = ∂ x ∂ q i , ∂ y ˙ ∂ q ˙ i = ∂ y ∂ q i ( i = 1 , 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial x}{\partial q_{i}}},\;\;{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}\;\;\;(i=1,2)} ラグランジアン L に対して、直角座標 x, y でのオイラー＝ラグランジュ方程式は d d t ( ∂ L ∂ x ˙ ) − ∂ L ∂ x = 0 d d t ( ∂ L ∂ y ˙ ) − ∂ L ∂ y = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}&=0\\{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y}}&=0\end{aligned}}} であるが、このとき i = 1, 2 のそれぞれについて d d t ( ∂ L ∂ q ˙ i ) = d d t ( ∂ L ∂ x ˙ ∂ x ˙ ∂ q ˙ i + ∂ L ∂ y ˙ ∂ y ˙ ∂ q ˙ i ) = d d t ( ∂ L ∂ x ˙ ∂ x ∂ q i + ∂ L ∂ y ˙ ∂ y ∂ q i ) = d d t ( ∂ L ∂ x ˙ ) ∂ x ∂ q i + d d t ( ∂ L ∂ y ˙ ) ∂ y ∂ q i + ∂ L ∂ x ˙ ∂ x ˙ ∂ q i + ∂ L ∂ y ˙ ∂ y ˙ ∂ q i ∂ L ∂ q i = ∂ L ∂ x ∂ x ∂ q i + ∂ L ∂ y ∂ y ∂ q i + ∂ L ∂ x ˙ ∂ x ˙ ∂ q i + ∂ L ∂ x ˙ ∂ x ˙ ∂ q i {\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)&=\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\\&=\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}\right)\\&=\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right){\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}+\mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right){\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial q_{i}}}\\{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}&={\frac {\partial L}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial q_{i}}}\end{aligned}}} ∴ d d t ( ∂ L ∂ q ˙ i ) − ∂ L ∂ q i = 0 {\displaystyle \therefore \mathop {\frac {d}{dt}} \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0} より、一般化座標 q1, q2 でのオイラー=ラグランジュ方程式も同様に成り立つことが示される。座標変換が微分同相であるならば逆も成り立つため、オイラー=ラグランジュ方程式の共変性が示される。
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