媒介変数
(座標変換 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/06 01:43 UTC 版)
数学における媒介変数（ばいかいへんすう）、助変数（英: auxiliary variable）、補助変数、母数、径数、あるいはパラメータ（英: parameter[注 1]）とは、主たる変数（主変数）に対して補助的に用いられる変数である。 各分野において特定の意味で用いられることもあるが、一般に「パラメータ」は特定の系を決定し、分類し、あるいは特徴付ける助けとなる量を言う。 媒介変数はそれが変化したときの系の振る舞いを見るという意味で「変数」と見ることもできるが、対照的に主変数の変化に伴う系の振る舞いを調べたい場合などでは、しばしば補助変数は（「値を取り換えることができる」という意味で値は任意にとれるけれども）「定数」として扱われる。 パラメータは系の同定（あるいは、状態や振る舞いの評価、条件の特定など）に際して有用あるいは重大な役割を果たす系の要素となるものである。
座標変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:31 UTC 版)
ミンコフスキー時空上の座標xμに対する並進、ローレンツ変換、スケール変換、特殊共形変換は以下のようになる。 時空の並進 x μ → x ′ μ = x μ + a μ {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+a^{\mu }} ローレンツ変換（時空の回転変換） x μ → x ′ μ = Λ ν μ x ν {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=\Lambda _{\ \nu }^{\mu }x^{\nu }} スケール変換（ディラテーション） x μ → x ′ μ = λ x μ {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=\lambda x^{\mu }} 特殊共形変換 x μ → x ′ μ = x μ − b μ x 2 1 − 2 b ⋅ x + b 2 x 2 {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\prime \mu }={\frac {x^{\mu }-b^{\mu }x^{2}}{1-2b\cdot x+b^{2}x^{2}}}} ここで、aμ、 Λ ν μ {\displaystyle \Lambda _{\ \nu }^{\mu }} 、λ、bμは変換による任意のパラメータである。 特殊共形変換は、以下のように書き直すことができる。 x ′ μ x ′ 2 = x μ x 2 − b μ {\displaystyle {\frac {x^{\prime \mu }}{x^{\prime 2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-b^{\mu }} この形式から、特殊共形変換は x μ → x μ / x 2 {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\mu }/x^{2}} と座標変換し、パラメータbμだけ並進させる変換を意味していることが分かる。
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座標変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/20 05:17 UTC 版)
ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。 並進 x μ → x ′ μ = x μ + a μ {\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }+a^{\mu }} ローレンツ変換 x μ → x ′ μ = Λ μ ν x ν {\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }} ここで、a, Λ は変換のパラメータである。
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座標変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 08:32 UTC 版)
座標変換 q ↦ Q {\displaystyle q\mapsto Q} が q i = g i ( Q , t ) {\displaystyle q_{i}=g_{i}(Q,t)} で表されるとき、新たな座標の下でのラグランジアンは L ~ ( Q , Q ˙ , t ) = L ( g ( Q , t ) , g ˙ ( Q , t ) , t ) {\displaystyle {\tilde {L}}(Q,{\dot {Q}},t)=L(g(Q,t),{\dot {g}}(Q,t),t)} で与えられ、新たなラグランジアンから導かれる運動方程式は δ S ~ [ Q ] δ Q I ( t ) = ∂ L ~ ∂ Q I − d d t ∂ L ~ ∂ Q ˙ I = 0 {\displaystyle {\frac {\delta {\tilde {S}}[Q]}{\delta Q_{I}(t)}}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial Q_{I}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q}}_{I}}}=0} である。このように写像の合成で座標変換を容易に行えることが一般化座標で表されるラグランジュ形式の利点の一つである。 座標変換の時間微分は連鎖律により g ˙ i ( Q , t ) = d g i d t ( Q , t ) = Q ˙ I ⋅ ∂ g i ∂ Q I ( Q , t ) + ∂ g i ∂ t ( Q , t ) {\displaystyle {\dot {g}}_{i}(Q,t)={\frac {dg_{i}}{dt}}(Q,t)={\dot {Q}}_{I}\cdot {\frac {\partial g_{i}}{\partial Q_{I}}}(Q,t)+{\frac {\partial g_{i}}{\partial t}}(Q,t)} であるため、新たな座標に共役な運動量は P I ( t ) = ∂ L ~ ∂ Q ˙ I = ∂ L ∂ q ˙ i ∂ g i ∂ Q I = p i ⋅ ∂ g i ∂ Q I {\displaystyle P_{I}(t)={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q}}_{I}}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\partial g_{i}}{\partial Q_{I}}}=p_{i}\cdot {\frac {\partial g_{i}}{\partial Q_{I}}}} となる。
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座標変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/16 14:47 UTC 版)
異なる座標系の間には座標を変換するための関数が定義できる。このことを座標変換と呼ぶ。逆に座標変換を与えることによって異なる座標系を定義することもできる。座標変換には平行移動、回転などがある。
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