座標変換と積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/23 07:35 UTC 版)
R2 の領域 D で、座標系が {x1,x2} と 、{y1,y2} の 2 通りあり、座標変換が y 1 = y 1 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle y_{1}=y_{1}(x_{1},x_{2})} y 2 = y 2 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle y_{2}=y_{2}(x_{1},x_{2})} と表されているならば、外微分と外積の計算により d y 1 ∧ d y 2 = ( ∂ y 1 ∂ x 1 d x 1 + ∂ y 1 ∂ x 2 d x 2 ) ∧ ( ∂ y 2 ∂ x 1 d x 1 + ∂ y 2 ∂ x 2 d x 2 ) {\displaystyle \mathrm {d} y_{1}\wedge \mathrm {d} y_{2}=\left({\partial y_{1} \over \partial x_{1}}\mathrm {d} x_{1}+{\partial y_{1} \over \partial x_{2}}\mathrm {d} x_{2}\right)\wedge \left({\partial y_{2} \over \partial x_{1}}\mathrm {d} x_{1}+{\partial y_{2} \over \partial x_{2}}\mathrm {d} x_{2}\right)} = ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 1 d x 1 ∧ d x 1 + ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 2 d x 1 ∧ d x 2 + ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x 1 d x 2 ∧ d x 1 + ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x 2 d x 2 ∧ d x 2 {\displaystyle ={\partial y_{1} \over \partial x_{1}}{\partial y_{2} \over \partial x_{1}}\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{1}+{\partial y_{1} \over \partial x_{1}}{\partial y_{2} \over \partial x_{2}}\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}+{\partial y_{1} \over \partial x_{2}}{\partial y_{2} \over \partial x_{1}}\mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{1}+{\partial y_{1} \over \partial x_{2}}{\partial y_{2} \over \partial x_{2}}\mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{2}} = ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 2 d x 1 ∧ d x 2 + ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x 1 d x 2 ∧ d x 1 {\displaystyle ={\partial y_{1} \over \partial x_{1}}{\partial y_{2} \over \partial x_{2}}\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}+{\partial y_{1} \over \partial x_{2}}{\partial y_{2} \over \partial x_{1}}\mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{1}} = ( ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 2 − ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x 1 ) d x 1 ∧ d x 2 {\displaystyle =\left({\partial y_{1} \over \partial x_{1}}{\partial y_{2} \over \partial x_{2}}-{\partial y_{1} \over \partial x_{2}}{\partial y_{2} \over \partial x_{1}}\right)\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}} = ∂ ( y 1 , y 2 ) ∂ ( x 1 , x 2 ) d x 1 ∧ d x 2 {\displaystyle {\partial \left(y_{1},y_{2}\right) \over \partial \left(x_{1},x_{2}\right)}\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}} となる。最後の式の係数はヤコビアンである。この式は 2変数関数の重積分の変数変換の公式 ∬ f ( y 1 , y 2 ) d y 1 d y 2 = ∬ f ( y 1 ( x 1 , x 2 ) , y 2 ( x 1 , x 2 ) ) | ∂ ( y 1 , y 2 ) ∂ ( x 1 , x 2 ) | d x 1 d x 2 {\displaystyle \iint f(y_{1},y_{2})\mathrm {d} y_{1}\mathrm {d} y_{2}=\iint f(y_{1}(x_{1},x_{2}),y_{2}(x_{1},x_{2}))\left|{\partial \left(y_{1},y_{2}\right) \over \partial \left(x_{1},x_{2}\right)}\right|\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}} に似ている。このように微分形式を用いると、重積分の変数変換の公式を代数的な計算だけで導けるとも考えられる。 一般に Rn の領域 D で、座標系が {x1,x2,…,xn} と 、{y1,y2,…,yn} の 2 通りあり、座標変換が y m = y m ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystyle y_{m}=y_{m}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})} 1 ≤ m ≤ n {\displaystyle 1\leq m\leq n} のように表されるならば、 微分 k 形式は d y i 1 ∧ ⋯ ∧ d y i k = ∑ j 1 < ⋯ < j k ∂ ( y i 1 , y i 2 , ⋯ , y i k ) ∂ ( x j 1 , x j 2 , ⋯ , x j k ) d x j 1 ∧ ⋯ ∧ d x j k {\displaystyle \mathrm {d} y_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} y_{i_{k}}=\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}{\partial \left(y_{i_{1}},y_{i_{2}},\cdots ,y_{i_{k}}\right) \over \partial \left(x_{j_{1}},x_{j_{2}},\cdots ,x_{j_{k}}\right)}\mathrm {d} x_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{j_{k}}} と変換される。右辺の係数は、ヤコビアンである。 Σ が付くのは k < n の時を含めた一般の式だからである。 D ⊆ Rn において定義された微分 k 形式 ξ = f d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x k {\displaystyle \xi =f\mathrm {d} x_{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{k}} に対し、D 上の積分を ∫ D ξ = ∫ D f d x 1 ⋯ d x k {\displaystyle \int _{D}\xi =\int _{D}f\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{k}} で定義する。右辺は D で定義された重積分である。そしてこの定義は座標によらない。 通常は積分 ∫ f(x) dx において、∫ と dx は一対の記号であり、別々に用いることはできないが、微分形式としての意味を与えたことによって dx は一つの記号として意味を持ったことになる。
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