多重積分
重積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/15 14:26 UTC 版)
時間尺度上の重積分は Bohner (2005) で扱われている。
※この「重積分」の解説は、「時間尺度微分積分学」の解説の一部です。
「重積分」を含む「時間尺度微分積分学」の記事については、「時間尺度微分積分学」の概要を参照ください。
重積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 16:01 UTC 版)
詳細は「重積分」を参照 区間以外の積分領域を考えることもできる。一般に写像 f の集合 E 上でとった積分を ∫ E f ( x ) d x {\displaystyle \int _{E}f(x)\,dx} で表す。このとき、x として必ずしも実数でないほかの適当な量、例えば R3 のベクトルなどである場合を考えることができる。フビニの定理によれば、そのような積分が逐次積分（累次積分）として書けることが示される。すなわち、重積分は座標ごとに順番に積分して計算することができる。 一変数の正値関数の積分が関数のグラフと x-軸との間の領域の面積を表すのと同様に、二変数の正値関数 f(x, y) の二重積分は関数の定義する曲面 z = f(x, y) と関数の定義域を含む平面との間の領域の体積を表す（同じ体積はこの領域を表す三次元の定数関数 F(x, y, z = f(x, y)) = 1 の三重積分としても求められる）。同じことはさらに変数の数を増やしても成立し、積分は高次元の超体積を表すことになるが、三次元より高次元の場合は視覚化は困難である。 例えば、辺長が 4 × 6 × 5 の直方体の体積は以下の二通りの方法で求めることができる。 直方体の底面である xy-平面上の領域 D 上で定数関数 f(x, y) = 5 の二重積分 ∬ D 5 d x d y {\displaystyle \iint _{D}5\,dx\,dy} は所期の直方体の体積を与える。例えば、直方体の底面矩形が x, y の不等式 2 ≤ x ≤ 6, 3 ≤ y ≤ 9 で与えられているならば、上の二重積分は ∫ 3 9 ∫ 2 6 5 d x d y {\displaystyle \int \limits _{3}^{9}\!\!\int \limits _{2}^{6}5\,dx\,dy} のことと読み替えることができる。このあと、積分を x と y のいづれから先に計算すべきなのかであるが、この例では内側の積分、つまり x に対応する区間で x に関する積分を先に行う。内側の積分を F(b) − F(a) を計算する方法などで求めた後は、得られた結果を残りの変数に関して再び積分すれば、底面と上面に挟まれた領域（つまり所期の直方体）の体積が求められる。 直方体自身の上で取った定数関数 1 の三重積分 ∭ cuboid 1 d x d y d z {\displaystyle \iiint \limits _{\text{cuboid}}1\,dx\,dy\,dz} としても所期の体積が計算できる。
※この「重積分」の解説は、「積分法」の解説の一部です。
「重積分」を含む「積分法」の記事については、「積分法」の概要を参照ください。
重積分と同じ種類の言葉
- 重積分のページへのリンク
