幾何級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/04/11 04:00 UTC 版)
正則性、線型性、安定性(英語版)をもつ任意の総和法は幾何級数を次のように計算する。 ∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 − r . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.} この場合、a = 1 と r = −2 なので、和は 1/3 である。
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幾何級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/11/18 03:04 UTC 版)
次のような幾何級数 A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z k {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}} は通常の意味で |z| < 1 に対して 1/(1 − z) に収束する。このボレル変換は B ( A ) ( t z ) = ∑ k = 0 ∞ z k k ! t k = e t z {\displaystyle {\mathcal {B}}(A)(tz)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}t^{k}=e^{tz}} であり、ここからより広い領域 Re(z) < 1 で収束するボレル和 ∫ 0 ∞ e − t B ( A ) ( t z ) d t = ∫ 0 ∞ e − t e t z d t = 1 1 − z {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}(A)(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}} が得られ、これは元の級数の解析接続を与える。 この代わりに弱-ボレル変換を考えると、A(z) の部分和 An は An = (1 − zn+1)/(1 − z) と与えられるから、弱-ボレル和は lim t → ∞ e − t ∑ n = 0 ∞ 1 − z n + 1 1 − z t n n ! = lim t → ∞ e − t 1 − z ( e t − z e t z ) = 1 1 − z {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\to \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}\left(e^{t}-ze^{tz}\right)={\frac {1}{1-z}}} となり、再び |z| < 1 に対して 1/(1 − z) に収束する。あるいは上記の定理の2によって、Re(z) < 1 において lim t → ∞ e − t B ( A ) ( t z ) = lim t → ∞ e − t ( 1 − z ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}(A)(tz)=\lim _{t\to \infty }e^{-t(1-z)}=0} が成立することからも示される。
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