幾何的な意味
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/30 17:38 UTC 版)
行列 U と V はユニタリ行列だから、U の列ベクトル u1,...,um は、体 Km 上の正規直交基底を成し、V の列ベクトル v1,...,vn は、体 Kn 上の正規直交基底を成す。 ベクトル x を Mx に写す線形変換(線型写像) T : K n → K m {\displaystyle T:K^{n}\rightarrow K^{m}} は、これらの正規直交基底を用いて簡単な形に表される。すなわち、 T ( v i ) = σ i u i {\displaystyle T(v_{i})=\sigma _{i}u_{i}} , ここで i = 1,...,min(m,n) に対しては σi は Σ の i 番目の対角成分、i > min(m,n) に対し T(vi) = 0。 このことから、特異値分解定理の幾何的な意味は以下のように説明できる。線型写像 T : K n → K m {\displaystyle T:K^{n}\rightarrow K^{m}} に対し、次のような性質を持つ正規直交基底 Km と Kn が存在する。ここに、T は Kn の i 番目の基底ベクトルを Km の i 番目の基底ベクトルについて σi 倍したものに写す。σi は負でない数。つまり、これらの基底を用いて、写像 T は、負でない数を成分に持つ対角行列で表される。
※この「幾何的な意味」の解説は、「特異値分解」の解説の一部です。
「幾何的な意味」を含む「特異値分解」の記事については、「特異値分解」の概要を参照ください。
- 幾何的な意味のページへのリンク