幾何的な意味とは? わかりやすく解説

幾何的な意味

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/30 17:38 UTC 版)

特異値分解」の記事における「幾何的な意味」の解説

行列 U と V はユニタリ行列だから、U の列ベクトル u1,...,um は、体 Km 上の正規直交基底成し、V の列ベクトル v1,...,vn は、体 Kn 上の正規直交基底を成す。 ベクトル x を Mx に写す線形変換線型写像) T : K nK m {\displaystyle T:K^{n}\rightarrow K^{m}} は、これらの正規直交基底用いて簡単な形に表される。すなわち、 T ( v i ) = σ i u i {\displaystyle T(v_{i})=\sigma _{i}u_{i}} , ここで i = 1,...,min(m,n) に対しては σi は Σ の i 番目の対角成分、i > min(m,n) に対し T(vi) = 0。 このことから、特異値分解定理の幾何的な意味は以下のように説明できる線型写像 T : K nK m {\displaystyle T:K^{n}\rightarrow K^{m}} に対し次のような性質を持つ正規直交基底 KmKn存在する。ここに、T は Kn の i 番目の基底ベクトルKm の i 番目の基底ベクトルについて σi 倍したものに写す。σi は負でない数。つまり、これらの基底用いて写像 T は、負でない数成分に持つ対角行列表される

※この「幾何的な意味」の解説は、「特異値分解」の解説の一部です。
「幾何的な意味」を含む「特異値分解」の記事については、「特異値分解」の概要を参照ください。

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