幾何積分の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/09 22:39 UTC 版)
前節と条件を同じく (X, μ) を測度空間 とし、任意の幾何可積分単函数 f ( x ) = ∑ k = 1 n a k I A k ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)} に対する幾何積分を ∏ X f ( x ) d μ ( x ) := def ∏ k = 0 m − 1 a k μ ( A k ) {\displaystyle \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}{\stackrel {\text{def}}{{}:={}}}\prod _{k=0}^{m-1}a_{k}^{\mu (A_{k})}} で定義する（上で定義した幾何積分の一般化である）。両辺の対数をとって、 ln ( ∏ X f ( x ) d μ ( x ) ) = ∑ k = 0 m − 1 ln ( a k ) μ ( A k ) =: ∫ X ln f ( x ) d μ ( x ) {\displaystyle \ln \!{\Big (}\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}{\Bigr )}=\sum _{k=0}^{m-1}\ln(a_{k})\mu (A_{k})=:\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)} （最後の等号は単函数に対する通常のルベーグ積分の定義である）、すなわち ∏ X f ( x ) d μ ( x ) = exp ( ∫ X ln f ( x ) d μ ( x ) ) {\displaystyle \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right)} (Def: II) を得るが、前節でみたのと同様に exp および ln の連続性と可積分函数 f が単函数列の単調増大極限であることにより、Def: II は「任意の」幾何可積分 f に対して満足される。これにより上で見た幾何積分に関する性質は一般化される。 そのような意味において、「幾何積分に関するルベーグ積分論」は完全に通常のルベーグ積分に関する「古典的ルベーグ積分論」に帰着される。
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