幾何的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/29 22:09 UTC 版)
n 次元実ユークリッド空間 Rn の幾何学的ベクトル（有向線分から位置の概念を取り除いたもの）a, b に対して、a · b を a ⋅ b = | a | | b | cos θ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta } と定めるとこれは一つの実数を定める。ただし θ はベクトルを有向線分と見なしたときに a, b の成す角であり、|·| はベクトルの大きさ（対応する有向線分の長さ）である。これはすなわち、有向線分 b を a 方向へ正射影したものの大きさと a の大きさとの積である。これを Rn におけるドット積あるいは標準内積という。 また一方で、ベクトルを a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz)のように成分表示した場合、（第二）余弦定理を用いることで a ⋅ b = a x b x + a y b y + a z b z {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}} が成り立つことが示される。ゆえにこちらを定義とすることもある。
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