幾何積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/09 22:39 UTC 版)
定義 (幾何積分) ∏ a b f ( x ) d x := lim Δ x → 0 ∏ f ( x i ) Δ x = exp ( ∫ a b ln f ( x ) d x ) . {\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{dx}:=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp \left(\int _{a}^{b}\ln f(x)\,dx\right).} これは乗法的作用素 (multiplicative operator) になる。 この定義は離散的な乗積作用素 ∏ba• の連続版であるとともに、通常の（加法的）積分 ∫ba•dx の乗法版である。 加法版乗法版離散版 ∑ i = a b f ( i ) {\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)} ∏ i = a b f ( i ) {\displaystyle \prod _{i=a}^{b}f(i)} 連続版 ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} ∏ a b f ( x ) d x {\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{dx}} この定義の有用な点は、log との交換性: ln ∏ a b p ( x ) d x = ∫ a b ln p ( x ) d x {\displaystyle \ln \prod _{a}^{b}p(x)^{dx}=\int _{a}^{b}\ln p(x)\,dx} である。 幾何積分は乗法的微分積分学（英語版）の一種である幾何微分積分学 (geometric calculus) で中心的な役割を果たす。
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