極限
一般的な表現としての「極限」の基本的な意味
「極限」とは、「ある範囲の到達可能な限度いっぱいの所」や「それ以上は余地の残っていないぎりぎりの所」を意味する表現である。一般的な日本語表現としての「極限」は、物事の範囲の「果て」に位置する部分、範囲内に収まるめいっぱい端の部分、を意味する言葉である。
「極限」の「極」の字には「果て」や「端」という意味がある。同じく「限」は「区切り」や「範囲」という意味がある。要するに限度いっぱいのギリギリということである。
「極限」と「局限」の違いと使い分け方
「極限」と「局限」は、どちらも「きょくげん」と読む言葉であり、混同や誤変換が生じやすい。「局限」は「範囲を限る」「ある部分に範囲を限定して物事を扱う」という意味の語である。つまり、範囲を作為的に設けることである。「極限」は、すでに設けられてある「範囲」の「ギリギリの端」の部分のことである。
「極限」は名詞として用いられることが多く、「局限」は「局限する」という言い方で動詞として扱われることが多い。「極限する」という言い方は、全くあり得ないわけではないが、たいてい「局限する」の誤字・誤変換と捉えてまず間違いない。
数学用語としての「極限」の大まかな意味
数学の分野における「極限」は、「数列や関数が、ある値（α）に限りなく近づく」という状況を扱う概念である。「値 α」は「極限」もしくは「極限値」と呼ばれ、「ある値（α）に限りなく近づく」ことは「収束する」と表現される。数学の「極限」は、三角関数や指数関数、対数関数の計算において登場する。数式上では記号「lim」で表現される。
数学の「極限」は、関数などで示される値の「限度いっぱいのギリギリ」を求めるために扱われる。
「極限公式」とは
「極限公式」とは、極限の性質や極限に関する定理について、数式で表現したものである。定理であるため、特定の命題において一度その式が成立することを証明することができれば、次にその命題が登場した際には公式に使用されている変数に最適な値を代入することで計算や考察を省略して解を導き出すことが可能となる。代表的な極限公式としては「はさみうちの原理」や「追い出しの原理」などが挙げられる。
「極限値」とは
「極限値」とは、数列や関数値が収束する値のことである。数列や関数が極限値を持つ場合は、その数列や関数は「極限が有限確定である」、もしくは「有限の極限を持つ」と表現される。逆に、極限値を持たない場合、その数列や関数は正の無限大もしくは負の無限大に発散する。ただし、数列の極限が確定しないケースも存在し、その場合は「振動する」と表現される。極限値は数列や関数値が限りなく大きくなった場合に近づく値ではあるが、数列がその値になることはないし、関数値に極限値を代入しても数式は成立しない。「極限」を含むその他の表現
「極限状態」とは
「極限状態」とは、物事がまさに極限に達しつつある、あるいはすでに極限に達している、といった状態を指す表現である。人間が（肉体的・精神的・経済的に）「追い詰められている状況」を形容する表現として用いられることが多い。カプコンのゲーム「モンスターハンター」シリーズでは、モンスターを大幅に強化して攻略難易度を上げるシステムおよび強化状態が「極限状態」と呼ばれている。極限状態は「狂竜ウイルス」と呼ばれるウイルスに感染して死を免れた個体が性能を大幅に強化・凶暴化しれ暴れ狂う、という物語上の設定に基づいている。極限状態のモンスターはあまりに強く、そのためプレイヤーは攻略の甲斐を見出す者と気力が萎える者とに二極化している。
なお哲学者カール・ヤスパースは「人間が死や苦悩といった不可避の状況に直面して実存を脅かされる」状況を「限界状況（Grenzsituation）」と呼んだが、この「限界状況」は「極限状況」と訳されることもある。「極限状態」と訳されることはあまりない。
「極限夫婦」とは
「極限夫婦」とは、きづきあきらとサトウナンキによる漫画のタイトルである。主人公の妻とモラハラ夫の結婚生活が離婚に至るまでの過程が描かれる。「極限夫婦」は、亭主関白な夫が不倫をしていると知った妻が葛藤の末に離婚を決意し、夫へ制裁を下す、といった筋書きである。作者のコンビは実の夫婦であるという事実も話題を呼んだ。
きょく‐げん【極限】
極限
極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/07 14:21 UTC 版)
F : J → C をCにおける形がJの図式であるとする。Fへの錐とは、Cの対象Nと、Jの対象Xで添え字付けられた射の族ψX : N → F(X)の組(N, ψ)のうち、全てのJの射f : X → YがF(f) o ψX = ψYを満たすものをいう。 図式F : J → Cの極限とはFへの錐(L, φ)であって、他のどのFへの錐(N, ψ)に対しても、一意な射u : N → Lが存在して、Jの全ての対象XがφX o u = ψXを満たすようにできるものをいう。 このとき、錐(N, ψ)は錐(L, φ)を経由して一意な分解射uにより分解されるという。射uは仲介射であると呼ばれることもある。 極限は普遍性によって特徴付けられる(下記を参照)ので、普遍錐であるということもできる。他の普遍性と同様に、上の定義は一般性が釣り合った状態であることを述べている。つまり、極限対象Lは各錐がこれを経由して分解できるほどに一般性を持ち、分解が一意であるのに十分な具体性も持っている。 極限はFへの錐の圏の終対象であると特徴付けることもできる。 図式が極限を持たないこともある。しかし、もし図式が極限を持つならば、それは本質的に一意である。すなわち、同型による違いを除いて一意である。このことがFの唯一の (the) 極限と呼ぶことのある理由である。
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極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/07 14:21 UTC 版)
極限の定義は実際によく使われている多くの構成を十分に包摂する一般的なものである。以下では図式F : J → Cの極限(L, φ)について考える。 終対象。Jが空な圏である場合は、形がJである図式はただひとつであり、それは空である(集合論の空写像と同様である)。空な図式の錐はCの勝手なひとつの対象のことであり、Fの極限は他のどの対象もそれを経由して一意に分解する。これは終対象の定義そのものである。 積。Jが離散圏の場合は、図式FはたんにJで添え字付けられたCの対象の族である。Fの極限Lはこれらの対象の積と呼ばれる。錐を構成する射の族 φX : L → F(X) は積からの射影と呼ばれる。例えば集合の圏においては、積は直積集合であり、射影は各因子への自然な射影のことである。冪。積の特別な場合として、図式Fの対象関数がCの対象Xへの定数関数であるとする。この図式の極限をXのJ乗と呼び、XJと記す。 等化子。Jの対象が二つであり、恒等射以外には対象1から対象2への平行な二つの射からなる場合は、形がJである図式はCにおける平行な射の対である。このような図式の極限はこれらの射の等化子と呼ばれる。核。核は等化子の特別な場合で、射の片方がゼロ射であるときをいう。 引き戻し。図式Fが三つのCの対象XとYとZを選び、恒等射でない射はf : X → Zとg : Y → Zのみであるとする。Fの極限Lは引き戻しまたはファイバー積と呼ばれる。 逆極限。Jを有向半順序集合とし(i ≤ jに対して射i → jを追加した小さな圏とみなす)、F : Jop → Cを図式とする。Fの極限は(まぎらわしいが)逆極限、射影極限、有向極限と呼ばれる。 J = 1のとき、すなわち、ひとつの対象とひとつの射からなる圏であるとき、形がJの図式は本質的にはCのひとつの対象Xのことである。対象Xへの錐はたんにXを余ドメインとする射である。射f : Y → Xが図式Xの極限であるのは、fが同型射のときであり、またそのときに限る。より一般的に、Jが始対象iを持つ圏であるとき、形がJである任意の図式は極限をもち、それはF(i)に同型な対象のことである。このような同型はFへの普遍錐を一意に定める。 位相的な極限。関数の極限はフィルター極限の特別な場合であり、圏論的な極限とは次のような関係がある。Xを位相空間とし、FはX上のフィルターの集合とし、x ∈ Xを点とし、V(x) ∈ Fをxの近傍フィルターとし、A ∈ Fをひとつのフィルターとし、 F x , A = { G ∈ F ∣ V ( x ) ∪ A ⊂ G } {\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}} をxに収束するAより細かいフィルターの集合とする。フィルターの集合FにはA ⊆ Bにたいして射A → Bを与えることで、圏の構造を持たせることができる。入射 I x , A : F x , A → F {\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F} は以下の同値性をもつ関手となる。 xがAの位相的な極限であるのは、Aが I x , A {\displaystyle I_{x,A}} の圏論的な極限であるときであり、またそのときに限る
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極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/04 00:28 UTC 版)
超獣化後、ロックマンに戻ると陥る状態。バスターの攻撃力が最低になり、クロスを装備できなくなる。さらにHPが急激に減っていき、例え回復しても1まで強制的に減らされる。
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極限（キョクゲン）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/06 17:37 UTC 版)
垂直落下式で放つ無限ススムの中では極限（キョクゲン）という別の技になる。
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極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 06:51 UTC 版)
0次の対称・反対称モードは任意の周波数でレイリー=ラム周波数方程式を満たし、伝搬モードとなる。0次モードの位相速度および群速度は周波数fあるいは板厚d(=2h)の無限大の極限において、レイリー波の伝搬速度に一致する。また、1次以上の対称・反対称モードの位相速度および群速度は、周波数fあるいは板厚d(=2h)の無限大の極限において横波の伝搬速度に一致する。 1次以上の対称・反対称モードはある周波数以上でのみレイリー=ラム周波数方程式を満たす。そこでレイリー=ラム周波数方程式を満たす解のうち、波数kのk→0の極限における周波数をカットオフ周波数と呼ぶ。周波数が（おおよそ）このカットオフ周波数を超えるたびにラム波の伝搬モードが増えるため、実用上・解析上重要な周波数である。k→0の極限では対称モード、反対称モードの角周波数ωcutoffはそれぞれ、 cos ( ω c u t o f f h c L ) sin ( ω c u t o f f h c T ) = 0 , {\displaystyle \cos \left({\frac {\omega _{\rm {cutoff}}h}{c_{\rm {L}}}}\right)\sin \left({\frac {\omega _{\rm {cutoff}}h}{c_{\rm {T}}}}\right)=0,} sin ( ω c u t o f f h c L ) cos ( ω c u t o f f h c T ) = 0 , {\displaystyle \sin \left({\frac {\omega _{\rm {cutoff}}h}{c_{\rm {L}}}}\right)\cos \left({\frac {\omega _{\rm {cutoff}}h}{c_{\rm {T}}}}\right)=0,} を満たす。なお、あるモードにおけるカットオフ周波数はあくまでk→0の極限であるため、厳密にはカットオフ周波数ωcutoffがこのラム波伝搬モードにおける最小の周波数になるとは限らない。つまり、同じラム波伝搬モードのなかで最も小さい周波数をωcrとするとき、ωcr < ωcutoffとなる場合が存在する。
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極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/11 03:59 UTC 版)
「1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯」の記事における「極限」の解説
アルキメデスの命題 24 は、命題 23 における有限の（しかし不定の）和を放物線の内側の領域に二重の背理法によって適用する。彼は完全には上記の部分和の極限をとっていないが、現代の微分積分学において、この段階は十分容易である。 lim n → ∞ 1 − ( 1 4 ) n + 1 1 − 1 4 = 1 1 − 1 4 = 4 3 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}} 級数の和はその部分和の極限として定義されるので、 1 + 1 4 + 1 4 2 + 1 4 3 + ⋯ = 4 3 {\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}}
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極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/09 09:56 UTC 版)
「バトラー・ボルマー式」の記事における「極限」の解説
バトラー・ボルマー式には次の二つの極限が考えられる。 過電圧が低い領域（E ≈ Eeq）ではバトラー・ボルマー式は次のように単純化され、係数は「分極抵抗」と呼ばれる。 j = j 0 z F R T ( E − E e q ) {\displaystyle j=j_{0}{\frac {zF}{RT}}(E-E_{\mathrm {eq} })} 過電圧が高い領域ではバトラー・ボルマー式はターフェル式に単純化される。 E − E e q = a − b log ( j ) {\displaystyle E-E_{\mathrm {eq} }=a-b\log(j)} E ≪ Eeq の場合、カソード反応と一致 E − E e q = a + b log ( j ) {\displaystyle E-E_{\mathrm {eq} }=a+b\log(j)} E ≫ Eeq の場合、アノード反応と一致 ここで、a および b は（反応と温度で決まる）定数であり、ターフェル定数と呼ばれる。これらの理論的値はカソード反応とアノード反応とで異なる。
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極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/22 00:06 UTC 版)
上記は、現在のP 円が年利i の1年複利でt 年後にP (1+i ) t 円に増殖することに対応している。もしも半年複利なら、これはt 年後にP (1+i /2) 2t に増殖する。4ヶ月複利なら、t 年後にはP (1+i /3) 3t に増える。一般に、1/n 年複利なら、t 年後の価値はP (1+i /n ) n t となり、n を限りなく大きくしていくと、 lim n → ∞ P ( 1 + i n ) n t = P [ lim n → ∞ ( 1 + i n ) n / i ] i t = P e i t {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P\left(1+{\frac {i}{n}}\right)^{nt}=P\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {i}{n}}\right)^{n/i}\right]^{it}=Pe^{it}} となる。したがって、時間を離散的でなく連続的にとり、単位時間当たりの割引率をi とすると、時点t における価値P の現在価値は、P e−i t と書ける。
※この「極限」の解説は、「現在価値」の解説の一部です。
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極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 02:00 UTC 版)
以下のように、極限を用いて二階導函数を表記できる。 f ″ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 {\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}} この極限は二階対称導函数と呼ばれる。たとえ（通常の）二階導函数が存在しないときでも二階対称導函数が存在しうることに注意。 式の右辺は差分商の差分商として次のように表記可能である。 f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 = f ( x + h ) − f ( x ) h − f ( x ) − f ( x − h ) h h {\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}} この極限は、数列の二階差分の連続版と見なすことができる。 しかしながら、上記の極限が存在しても、函数 f {\displaystyle f} が二階導函数を持つとは限らない。上の極限は二階微分の計算の可能性を与えるだけで、定義はしていない。反例として sgn ( x ) = { − 1 if x < 0 , 0 if x=0 , 1 if x> 0. {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}} と定義される符号函数 sgn ( x ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)} が挙げられる。 符号函数は原点で連続ではないため、 x = 0 {\displaystyle x=0} での二階導函数も存在しない。だが、上記の極限は x = 0 {\displaystyle x=0} において以下に示すように存在する。 lim h → 0 sgn ( 0 + h ) − 2 sgn ( 0 ) + sgn ( 0 − h ) h 2 = lim h → 0 sgn ( h ) − 2 ⋅ 0 + sgn ( − h ) h 2 = lim h → 0 sgn ( h ) + ( − sgn ( h ) ) h 2 = lim h → 0 0 h 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0\end{aligned}}}
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