極限とは? わかりやすく解説

極限

読み方:きょくげん

「極限」とは、物事範囲限度ぎりぎりのところを意味する表現である。

「極限」の基本的な意味

「極限」とは、物事限界ぎりぎりのところ、もしくは一番の果て意味する言葉である。「これ以上限界を超えてしまう」という状態であり、まさにボーダーラインにかかるかかからないかというニュアンスと言えるだろう。一方数学用語としては「数列の項を限りなく大きくする、あるいは関数変数値をある値に近づける正・負無限大する際数列関数値近づく一定の値」を指すものである。「極限値と呼ぶケースもある。数式上ではlim」という記号表現され、極限に限りなく近づく現象そのものは「収束する」と呼ばれる三角関数指数関数対数関数計算において登場する概念である。

「極限」に関連する用語の解説

以下では、数学における「極限」に関連する様々な用語について解説する

「極限公式(数学)とは


極限公式とは、極限の性質や極限に関する定理について、数式表現したものである定理あるため特定の命題において一度その式が成立することを証明することができれば次にその命題登場した際に公式に使用されている変数最適な値を代入することで計算考察省略して解を導き出すことが可能となる代表的な極限公式について、はさみうちの原理追い出しの原理などが挙げられる

「極限値(数学)」とは


極限値とは、数列関数値収束する際の値である。数列関数極限値を持つ場合は、その数列関数は「極限が有限確定である」、もしくは有限の極限を持つ」と表現される逆に極限値持たない場合、その数列関数正の無限大もしくは負の無限大発散する。ただし、数列の極限確定しないケース存在しその場合は振動する」と表現される極限値数列関数値限りなく大きくなった場合近づくではあるが、数列がその値になることはないし、関数値極限値代入しても数式成立しない

「極限」を含むその他の用語の解説

以下では、「極限」という言葉を含む用語について解説する

極限夫婦(漫画)とは


「極限夫婦」とは、きづきあきらサトウナンキ共同制作による漫画である。何らかの問題を抱える夫婦離婚に至るまで過程描いた短編オムニバスで、妻が主人公となっている。概ね筋書きとしては夫婦生活問題抱えた側が不倫してしまい、妻はそれを知って葛藤しながら離婚決意、夫へ制裁下すというものとなっている。作者きづきあきらサトウナンキ実の夫婦であり、ネーム作画の各工程を全分業体制で行っているも本作の特徴一つと言えるだろう。もともとはセックスレステーマの「レス限界夫婦~」という作品だったが、より尖った作品書こう考えた結果誕生したのが「極限夫婦であった各エピソード前編中編後編3話構成となっている。

極限状態とは


極限状態」とは、物事がまさに極限に達してしまっている状態のことを指す。主に人間の肉体的・精神的な状況について用いられることが多く、「理性辛うじて保っている状況」「生命危ぶまれる瀬戸際」などの状態が該当するまた、カプコンのアクションゲームシリーズ「モンスターハンター」では、モンスター凶暴化させた後死に至らしめる「狂竜ウイルス」を克服した状態を指す。こちらの極限状態の由来は「極み限りなく迫りし者」という呼び名から来ており、狂竜ウイルスの影響自らの力にしたことで文字通り極限の強さ発揮するゲームにおいては極限状態となったモンスターは「極限個体」と呼ばれ通常のモンスターよりも遥かに強力な敵として立ちはだかる攻略難易度非常に高いが、極限個体狩猟することで竜玉という素材入手できる

きょく‐げん【極限】

読み方:きょくげん

物事限度ぎりぎりのところ。「体力の―に達する」

数列の項の番号限りなく大きくするとき、または関数変数の値をある値に近づける正・負無限大にするときに、数列関数値限りなく近づく一定の値。極限値


極限

作者中村亨

収載図書無限ホテル
出版社文芸社
刊行年月2004.6


極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/09 09:32 UTC 版)

数学においては、数列など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えたものについての極限(きょくげん、: limit)がしばしば考察される。直感的には、数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束するという。収束せず正の無限大、負の無限大、振動することを発散するという。





極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/06/07 14:21 UTC 版)

極限 (圏論)」の記事における「極限」の解説

F : J → C をCにおける形がJの図式であるとする。Fへの錐とは、Cの対象Nと、Jの対象Xで添え字付けられた射の族ψX : N → F(X)の組(N, ψ)のうち、全てのJの射f : X → YがF(f) o ψX = ψYを満たすものをいう図式F : J → Cの極限とはFへの錐(L, φ)であって他のどのFへの錐(N, ψ)に対しても、一意な射u : N → Lが存在して、Jの全ての対象XがφX o u = ψXを満たすようにできるものをいう。 このとき、錐(N, ψ)は錐(L, φ)を経由して一意分解射uにより分解されるという。射uは仲介射であると呼ばれることもある。 極限は普遍性によって特徴付けられる(下記を参照)ので、普遍錐であるということもできる。他の普遍性と同様に、上の定義は一般性釣り合った態であること述べている。つまり、極限対象Lは各錐がこれを経由して分解できるほどに一般性持ち分解一意であるのに十分な具体性持っている。 極限はFへの錐の圏の終対象であると特徴付けるともできる図式が極限を持たないこともある。しかし、もし図式が極限を持つならば、それは本質的に一意である。すなわち、同型による違いを除いて一意である。このことがFの唯一の (the) 極限と呼ぶことのある理由である。

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極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/06/07 14:21 UTC 版)

極限 (圏論)」の記事における「極限」の解説

極限の定義は実際によく使われている多くの構成十分に包摂する一般的なものである以下で図式F : J → Cの極限(L, φ)について考える。 終対象。Jが空な圏である場合は、形がJである図式はただひとつであり、それは空である(集合論空写像と同様である)。空な図式の錐はCの勝手なひとつの対象のことであり、Fの極限は他のどの対象もそれを経由して一意分解する。これは終対象の定義そのものである。 積。Jが離散圏の場合は図式FはたんにJで添え字付けられたCの対象の族である。Fの極限Lはこれらの対象の積と呼ばれる。錐を構成する射の族 φX : L → F(X) は積からの射影呼ばれる例え集合の圏においては、積は直積集合であり、射影は各因子への自然な射影のことである。冪。積の特別な場合として、図式Fの対象関数がCの対象Xへの定数関数であるとする。この図式の極限をXのJ乗と呼びXJと記す。 等化子。Jの対象二つであり、恒等以外に対象1から対象2への平行な二つの射からなる場合は、形がJである図式はCにおける平行な射の対である。このような図式の極限はこれらの射の等化子呼ばれる等化子特別な場合で、射の片方ゼロ射であるときをいう。 引き戻し図式Fが三つのCの対象XとYとZを選び恒等射でない射はf : X → Zとg : Y → Zのみであるとする。Fの極限Lは引き戻しまたはファイバー積呼ばれる逆極限。Jを有向半順序集合とし(i ≤ jに対して射i → jを追加した小さな圏とみなす)、F : Jop → Cを図式とする。Fの極限は(まぎらわしいが)逆極限射影極限有向極限と呼ばれるJ = 1のとき、すなわち、ひとつの対象とひとつの射からなる圏であるとき、形がJの図式本質的にはCのひとつ対象Xのことである。対象Xへの錐はたんにXを余ドメインとする射である。射f : Y → Xが図式Xの極限であるのは、fが同型射のときであり、またそのときに限るより一般的に、Jが始対象iを持つ圏であるとき、形がJである任意の図式は極限をもち、それはF(i)同型対象のことである。このような同型はFへの普遍錐を一意定める。 位相的な極限。関数の極限フィルター極限の特別な場合であり、圏論的な極限とは次のような関係がある。Xを位相空間とし、FはX上のフィルター集合とし、x ∈ Xを点とし、V(x) ∈ Fをxの近傍フィルターとし、A ∈ Fをひとつのフィルターとし、 F x , A = { G ∈ F ∣ V ( x ) ∪ A ⊂ G } {\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}} をxに収束するAより細かいフィルター集合とする。フィルター集合FにはA ⊆ Bにたいして射A → B与えることで、圏の構造持たせることができる。入射 I x , A : F x , A → F {\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F} は以下の同値性をもつ関手となる。 xがAの位相的な極限であるのは、Aが I x , A {\displaystyle I_{x,A}} の圏論的な極限であるときであり、またそのときに限る

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極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/01/04 00:28 UTC 版)

ロックマンエグゼ6」の記事における「極限」の解説

超獣化後、ロックマンに戻ると陥る状態。バスター攻撃力最低になり、クロス装備できなくなる。さらにHP急激に減っていき、例え回復しても1まで強制的に減らされる

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極限(キョクゲン)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/05/06 17:37 UTC 版)

横須賀ススム」の記事における「極限(キョクゲン)」の解説

垂直落下式で放つ無限ススムの中では極限(キョクゲン)という別の技になる。

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極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/07 06:51 UTC 版)

ラム波」の記事における「極限」の解説

0次の対称反対称モード任意の周波数レイリー=ラム周波数方程式満たし伝搬モードとなる。0次モード位相速度および群速度周波数fあるいは板厚d(=2h)の無限大の極限において、レイリー波伝搬速度一致するまた、1次以上の対称反対称モード位相速度および群速度は、周波数fあるいは板厚d(=2h)の無限大の極限において横波伝搬速度一致する1次以上の対称反対称モードはある周波数上でのみレイリー=ラム周波数方程式満たす。そこでレイリー=ラム周波数方程式満たす解のうち、波数kのk→0の極限における周波数カットオフ周波数と呼ぶ周波数が(おおよそ)このカットオフ周波数を超えるたびにラム波伝搬モード増えるため、実用上・解析上重要な周波数である。k→0の極限では対称モード反対称モード角周波数ωcutoffそれぞれcos ⁡ ( ω c u t o f f h c L ) sin ⁡ ( ω c u t o f f h c T ) = 0 , {\displaystyle \cos \left({\frac {\omega _{\rm {cutoff}}h}{c_{\rm {L}}}}\right)\sin \left({\frac {\omega _{\rm {cutoff}}h}{c_{\rm {T}}}}\right)=0,} sin ⁡ ( ω c u t o f f h c L ) cos ⁡ ( ω c u t o f f h c T ) = 0 , {\displaystyle \sin \left({\frac {\omega _{\rm {cutoff}}h}{c_{\rm {L}}}}\right)\cos \left({\frac {\omega _{\rm {cutoff}}h}{c_{\rm {T}}}}\right)=0,} を満たす。なお、あるモードにおけるカットオフ周波数はあくまでk→0の極限であるため厳密にカットオフ周波数ωcutoffがこのラム波伝搬モードにおける最小の周波数になると限らない。つまり、同じラム波伝搬モードのなかで最も小さい周波数をωcrとするとき、ωcr < ωcutoffとなる場合存在する

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極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/11/11 03:59 UTC 版)

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯」の記事における「極限」の解説

アルキメデス命題 24 は、命題 23 における有限の(しかし不定の)和を放物線内側領域二重の背理法によって適用する彼は完全に上記の部分和の極限をとっていないが、現代微分積分学において、この段階は十分容易であるlim n → ∞ 1 − ( 1 4 ) n + 1 1 − 1 4 = 1 1 − 1 4 = 4 3 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}} 級数の和はその部分和極限として定義されるので、 1 + 1 4 + 1 4 2 + 1 4 3 + ⋯ = 4 3 {\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}}

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極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/09 09:56 UTC 版)

バトラー・ボルマー式」の記事における「極限」の解説

バトラー・ボルマー式には次の二つの極限が考えられる過電圧が低い領域(E ≈ Eeq)ではバトラー・ボルマー式次のように単純化され係数は「分極抵抗」と呼ばれるj = j 0 z F R T ( E − E e q ) {\displaystyle j=j_{0}{\frac {zF}{RT}}(E-E_{\mathrm {eq} })} 過電圧が高い領域ではバトラー・ボルマー式ターフェル式単純化される。 E − E e q = ab log( j ) {\displaystyle E-E_{\mathrm {eq} }=a-b\log(j)} E ≪ Eeq の場合、カソード反応一致 E − E e q = a + b log( j ) {\displaystyle E-E_{\mathrm {eq} }=a+b\log(j)} E ≫ Eeq の場合、アノード反応一致 ここで、a および b は(反応温度決まる)定数であり、ターフェル定数呼ばれるこれらの理論的値はカソード反応アノード反応とで異なる。

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極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/11/22 00:06 UTC 版)

現在価値」の記事における「極限」の解説

上記は、現在のP 円が年利i の1年複利でt 年後にP (1+i ) t 円に増殖することに対応している。もしも半年複利なら、これはt 年後にP (1+i /2) 2t に増殖する。4ヶ月複利なら、t 年後にはP (1+i /3) 3t増える一般に、1/n 年複利なら、t 年後価値はP (1+i /n ) n t となり、n を限りなく大きくしていくと、 lim n → ∞ P ( 1 + i n ) n t = P [ lim n → ∞ ( 1 + i n ) n / i ] i t = P e i t {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P\left(1+{\frac {i}{n}}\right)^{nt}=P\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {i}{n}}\right)^{n/i}\right]^{it}=Pe^{it}} となる。したがって、時間離散的でなく連続的にとり、単位時間当たり割引率をi とすると、時点t における価値P の現在価値は、P e−i t と書ける。

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極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/02 02:00 UTC 版)

二階導関数」の記事における「極限」の解説

下のように、極限を用いて二階導函数表記できる。 f ″ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 {\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}} この極限は二階対称導函数呼ばれる。たとえ(通常の二階導函数存在しないときでも二階対称導函数存在しうることに注意。 式の右辺差分商差分商として次のように表記可能である。 f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 = f ( x + h ) − f ( x ) h − f ( x ) − f ( x − h ) h h {\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}} この極限は、数列二階差分連続版と見なすことができる。 しかしながら上記の極限が存在しても、函数 f {\displaystyle f} が二階導函数を持つとは限らない上の極限は二階微分計算可能性与えるだけで、定義はしていない反例として sgn( x ) = { − 1 if  x < 0 , 0 if  x=0 , 1 if  x> 0. {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}} と定義される符号函数 sgn( x ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)} が挙げられる符号函数原点連続はないため、 x = 0 {\displaystyle x=0} での二階導函数存在しない。だが、上記の極限は x = 0 {\displaystyle x=0} において以下に示すように存在するlim h → 0 sgn ⁡ ( 0 + h ) − 2 sgn ⁡ ( 0 ) + sgn ⁡ ( 0 − h ) h 2 = lim h → 0 sgn( h ) − 2 ⋅ 0 + sgn ⁡ ( − h ) h 2 = lim h → 0 sgn( h ) + ( − sgn( h ) ) h 2 = lim h → 0 0 h 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0\end{aligned}}}

※この「極限」の解説は、「二階導関数」の解説の一部です。
「極限」を含む「二階導関数」の記事については、「二階導関数」の概要を参照ください。

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極限

出典:『Wiktionary』 (2021/11/27 01:10 UTC 版)

名詞

きょくげん

  1. 物事限界ぎりぎりの所。
  2. 数列などがある数値限りなく近づいていく時の、その数値

「極限」の例文・使い方・用例・文例

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