極限
一般的な表現としての「極限」の基本的な意味
「極限」とは、「ある範囲の到達可能な限度いっぱいの所」や「それ以上は余地の残っていないぎりぎりの所」を意味する表現である。一般的な日本語表現としての「極限」は、物事の範囲の「果て」に位置する部分、範囲内に収まるめいっぱい端の部分、を意味する言葉である。
「極限」の「極」の字には「果て」や「端」という意味がある。同じく「限」は「区切り」や「範囲」という意味がある。要するに限度いっぱいのギリギリということである。
「極限」と「局限」の違いと使い分け方
「極限」と「局限」は、どちらも「きょくげん」と読む言葉であり、混同や誤変換が生じやすい。「局限」は「範囲を限る」「ある部分に範囲を限定して物事を扱う」という意味の語である。つまり、範囲を作為的に設けることである。「極限」は、すでに設けられてある「範囲」の「ギリギリの端」の部分のことである。
「極限」は名詞として用いられることが多く、「局限」は「局限する」という言い方で動詞として扱われることが多い。「極限する」という言い方は、全くあり得ないわけではないが、たいてい「局限する」の誤字・誤変換と捉えてまず間違いない。
数学用語としての「極限」の大まかな意味
数学の分野における「極限」は、「数列や関数が、ある値（α）に限りなく近づく」という状況を扱う概念である。「値 α」は「極限」もしくは「極限値」と呼ばれ、「ある値（α）に限りなく近づく」ことは「収束する」と表現される。数学の「極限」は、三角関数や指数関数、対数関数の計算において登場する。数式上では記号「lim」で表現される。
数学の「極限」は、関数などで示される値の「限度いっぱいのギリギリ」を求めるために扱われる。
「極限公式」とは
「極限公式」とは、極限の性質や極限に関する定理について、数式で表現したものである。定理であるため、特定の命題において一度その式が成立することを証明することができれば、次にその命題が登場した際には公式に使用されている変数に最適な値を代入することで計算や考察を省略して解を導き出すことが可能となる。代表的な極限公式としては「はさみうちの原理」や「追い出しの原理」などが挙げられる。
「極限値」とは
「極限値」とは、数列や関数値が収束する値のことである。数列や関数が極限値を持つ場合は、その数列や関数は「極限が有限確定である」、もしくは「有限の極限を持つ」と表現される。逆に、極限値を持たない場合、その数列や関数は正の無限大もしくは負の無限大に発散する。ただし、数列の極限が確定しないケースも存在し、その場合は「振動する」と表現される。極限値は数列や関数値が限りなく大きくなった場合に近づく値ではあるが、数列がその値になることはないし、関数値に極限値を代入しても数式は成立しない。「極限」を含むその他の表現
「極限状態」とは
「極限状態」とは、物事がまさに極限に達しつつある、あるいはすでに極限に達している、といった状態を指す表現である。人間が（肉体的・精神的・経済的に）「追い詰められている状況」を形容する表現として用いられることが多い。カプコンのゲーム「モンスターハンター」シリーズでは、モンスターを大幅に強化して攻略難易度を上げるシステムおよび強化状態が「極限状態」と呼ばれている。極限状態は「狂竜ウイルス」と呼ばれるウイルスに感染して死を免れた個体が性能を大幅に強化・凶暴化しれ暴れ狂う、という物語上の設定に基づいている。極限状態のモンスターはあまりに強く、そのためプレイヤーは攻略の甲斐を見出す者と気力が萎える者とに二極化している。
なお哲学者カール・ヤスパースは「人間が死や苦悩といった不可避の状況に直面して実存を脅かされる」状況を「限界状況（Grenzsituation）」と呼んだが、この「限界状況」は「極限状況」と訳されることもある。「極限状態」と訳されることはあまりない。
「極限夫婦」とは
「極限夫婦」とは、きづきあきらとサトウナンキによる漫画のタイトルである。主人公の妻とモラハラ夫の結婚生活が離婚に至るまでの過程が描かれる。「極限夫婦」は、亭主関白な夫が不倫をしていると知った妻が葛藤の末に離婚を決意し、夫へ制裁を下す、といった筋書きである。作者のコンビは実の夫婦であるという事実も話題を呼んだ。
きょく‐げん【極限】
極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/04 17:27 UTC 版)
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数学においては、数列など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えたものについての極限（きょくげん、英: limit）がしばしば考察される。直感的には、数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束するという。収束せず正の無限大、負の無限大、振動することを発散するという。
極限を表す記号として、lim (英語: limit, リミット、ラテン語: limes)という記号が一般的に用いられる。例えば次のように使う:
| 典拠管理データベース: 国立図書館 |
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極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/07 14:21 UTC 版)
F : J → C をCにおける形がJの図式であるとする。Fへの錐とは、Cの対象Nと、Jの対象Xで添え字付けられた射の族ψX : N → F(X)の組(N, ψ)のうち、全てのJの射f : X → YがF(f) o ψX = ψYを満たすものをいう。 図式F : J → Cの極限とはFへの錐(L, φ)であって、他のどのFへの錐(N, ψ)に対しても、一意な射u : N → Lが存在して、Jの全ての対象XがφX o u = ψXを満たすようにできるものをいう。 このとき、錐(N, ψ)は錐(L, φ)を経由して一意な分解射uにより分解されるという。射uは仲介射であると呼ばれることもある。 極限は普遍性によって特徴付けられる(下記を参照)ので、普遍錐であるということもできる。他の普遍性と同様に、上の定義は一般性が釣り合った状態であることを述べている。つまり、極限対象Lは各錐がこれを経由して分解できるほどに一般性を持ち、分解が一意であるのに十分な具体性も持っている。 極限はFへの錐の圏の終対象であると特徴付けることもできる。 図式が極限を持たないこともある。しかし、もし図式が極限を持つならば、それは本質的に一意である。すなわち、同型による違いを除いて一意である。このことがFの唯一の (the) 極限と呼ぶことのある理由である。
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