極限が存在するという条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 02:48 UTC 版)
「ロピタルの定理」の記事における「極限が存在するという条件」の解説
極限、 lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} が存在するという条件はこの定理において外すことの出来ない重要な仮定である。 例えば、f(x) = x + sin(x) と g(x) = x に対して、 lim x → ∞ f ′ ( x ) g ′ ( x ) = lim x → ∞ 1 + cos x 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1+\cos x}{1}}} となりこの極限は存在しない。従ってこの場合ロピタルの定理の適用は出来ないがしかし次のように、求めたい極限はしっかり存在していることが確認できる。 lim x → ∞ f ( x ) g ( x ) = lim x → ∞ ( 1 + sin x x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {\sin x}{x}}\right)=1}
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