極限と連続性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/04/10 04:50 UTC 版)
多変数微積分学における極限と連続性の研究は、1変数関数による微分積分学では論証されないような様々な非直感的な成果を生み出した:19-22。例えば、2変数のスカラー関数であって、定義域に、任意の直線に沿って近づくと特定の極限を与えるが、放物線に沿って近づくと異なる極限を与えるような点を持つものが存在する。例えば、次の関数 f ( x , y ) = x 2 y x 4 + y 2 {\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}} は原点を通る任意の直線に沿って0（ゼロ）に近づく。しかしながら、放物線 y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} に沿って原点に近づく場合、この関数の極限は0.5である。同一の点に向かって異なる経路を選択することで、それぞれの場合に対し異なる極限が得られるので、極限は存在しない。 「各変数に関して連続である」ことは「多変数函数としての連続性」(multivariate continuity) には十分でない:17-19。 例えば、二つの実変数を持つ実数値関数 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} の場合、y を固定して x に関して f が連続であり、かつ x を固定して y に関して f が連続となることは、f の連続性を意味しない。そのような例として f ( x , y ) = { y x − y if 1 ≥ x > y ≥ 0 x y − x if 1 ≥ y > x ≥ 0 1 − x if x = y > 0 0 else . {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if }}1\geq x>y\geq 0\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if }}1\geq y>x\geq 0\\1-x&{\text{if }}x=y>0\\0&{\text{else}}.\end{cases}}} を考えることができる。 f y ( x ) := f ( x , y ) {\displaystyle f_{y}(x):=f(x,y)} によって与えられる（一実変数の）すべての実数値関数は、 x {\displaystyle x} において、（任意の固定された y {\displaystyle y} に対して）連続であることを確認するのは容易である。 f {\displaystyle f} は x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} に関して対称的であるから、すべての f x {\displaystyle f_{x}} も同様に連続である。しかしながら、 f {\displaystyle f} そのものは連続ではない。なぜならば、もし f {\displaystyle f} が連続であれば、（自然数 n {\displaystyle n} に対する）数列 f ( 1 n , 1 n ) {\displaystyle f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)} は f ( 0 , 0 ) = 0 {\displaystyle f(0,0)=0} に収束するはずであるが、 lim n → ∞ f ( 1 n , 1 n ) = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)=1} である。したがって、f は原点において連続でない。
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