極限の保存
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/07 14:21 UTC 版)
関手G : C → DはCone(F)からCone(GF)への写像を誘導する。すなわち、ΨをNからFへの錐とすると、GΨはGNからGFへの錐となる。関手Gが Fの極限を保存するとは、(L, φ)がFの極限であるときはいつでも、(GL, Gφ)がGFの極限となることをいう。(注意: Fの極限が存在しない場合も、GはFの極限を保存する(空虚な真（英語版）)) 関手Gが' Jの形の全ての極限を保存するとは、Gが任意の図式F : J → Cの極限を保存することをいう。例えば、Gは積を保存する、等化子を保存する、引き戻しを保存する等のように使用する。連続関手とは全ての小さな極限を保存する関手をいう。 同様の定義は余極限についても可能である。例えば、関手GはFの余極限を保存するとは、(L, φ)がFの余極限のときはいつでも、G(L, φ)がGFの余極限となることをいう。余連続関手とは全ての小さな余極限を保存する関手をいう。 Cが完備圏であるならば、上記の極限の存在定理により、関手G : C → Dが連続であることは、(小さい)積と等化子を保存することと同値となる。双対的に、Gが余連続であることは、(小さい)余積と余等化子を保存することと同値である。 随伴関手について、全ての右随伴関手は連続であり全ての左随伴関手は余連続であるという重要な性質がある。随伴関手は豊富に存在しているので、連続関手や余連続関手のたくさんの例を得られる。 与えられた図式F : J → Cと関手G : C → Dにたいして、FとGFが特定の極限をもつならば、標準射 τF : G lim F → lim GF が存在して、対応する極限錐の選択ごとに一意である。関手GがFの極限を保存することは、この写像が全単射であることと同値である。もし圏CとDがJの形の全ての極限を持っているならば、limは関手であり、τFは自然変換 τ : G lim → lim GJ. のコンポーネントである。関手GがJの形の全ての極限を保存することは、τが自然同型であることと同値である。この意味で、関手Gは(標準自然同型の違いを除いて)極限と交換するということができる。 極限や余極限の保存という概念は共変関手にだけ適用できる。反変関手についての対応する概念は余極限を極限に写す、もしくは極限を余極限に写すというものになる。
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極限の保存
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:11 UTC 版)
随伴のもっとも重要な性質は連続性である。左随伴を持つ全ての関手(つまり右随伴である関手)は連続である(つまり圏論での極限と可換である)。右随伴を持つ全ての関手(つまり左随伴である関手)は余連続である(つまり余極限と可換である)。 数学における多くの共通の構成は極限か余極限であるので、このことはたくさんの情報をもたらす。例えば。 対象の積に右随伴関手を適用した結果は像の積である 対象の余積に左随伴関手を適用した結果は像の余積である 全ての右随伴関手は左完全である 全ての左随伴関手は右完全である
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