極限を求めるための他の方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 02:48 UTC 版)
「ロピタルの定理」の記事における「極限を求めるための他の方法」の解説
ロピタルの定理は通常の方法では求めることが困難な極限問題に対しても強力な手法であるが、それが常に簡単とは限らない。次の例を考えてみよう。 lim | x | → ∞ x sin 1 x . {\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }x\sin {\frac {1}{x}}.} この極限はロピタルの定理を用いると、 lim | x | → ∞ x sin 1 x = lim | x | → ∞ sin 1 x 1 / x = lim | x | → ∞ − x − 2 cos 1 x − x − 2 = lim | x | → ∞ cos 1 x = cos ( lim | x | → ∞ 1 x ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{|x|\to \infty }x\sin {\frac {1}{x}}&=\lim _{|x|\to \infty }{\frac {\sin {\frac {1}{x}}}{1/x}}\\&=\lim _{|x|\to \infty }{\frac {-x^{-2}\cos {\frac {1}{x}}}{-x^{-2}}}\\&=\lim _{|x|\to \infty }\cos {\frac {1}{x}}\\&=\cos {\left(\lim _{|x|\to \infty }{\frac {1}{x}}\right)}\\&=1\end{aligned}}} となるが、 cos 関数が連続であるので極限操作を cos 関数の内側に移動することが有効である。この極限を計算するための他の方法は変数の置換である。y = 1/x とする。|x| が無限大に近づくにつれて y は 0 に近づく。従って、 lim | x | → ∞ x sin 1 x = lim y → 0 sin y y = 1. {\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }x\sin {\frac {1}{x}}=\lim _{y\to 0}{\frac {\sin y}{y}}=1.} である。最後の極限はロピタルの定理を用いて計算することもできるが、それを用いなくても 0 における sin 関数の微分の定義と同様の手法でも可能である。 この極限を計算するさらに他の方法は、テイラー展開を用いることである。 lim | x | → ∞ x sin 1 x = lim | x | → ∞ x ( 1 x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − ⋯ ) = lim | x | → ∞ ( 1 − 1 3 ! x 2 + 1 5 ! x 4 − ⋯ ) = 1 + lim | x | → ∞ 1 x ( − 1 3 ! x + 1 5 ! x 3 − ⋯ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{|x|\to \infty }x\sin {\frac {1}{x}}&=\lim _{|x|\to \infty }x\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3!\,x^{3}}}+{\frac {1}{5!\,x^{5}}}-\cdots \right)\\&=\lim _{|x|\to \infty }\left(1-{\frac {1}{3!\,x^{2}}}+{\frac {1}{5!\,x^{4}}}-\cdots \right)\\&=1+\lim _{|x|\to \infty }{\frac {1}{x}}\left(-{\frac {1}{3!\,x}}+{\frac {1}{5!\,x^{3}}}-\cdots \right)\end{aligned}}} |x| ≥ 1 に対して、最後の行の第2項の極限のかっこの中の展開は有界であるので極限は 0 である。
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