微分の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
p {\displaystyle {\textbf {p}}} を D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の点とする（つまり p ∈ D {\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}} ）。このとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとは、 lim x → p ( f ( x ) − ( A ( x − p ) + f ( p ) ) ‖ x − p ‖ ) = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left(\mathbf {A} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)=0} (2-2) を充たす n × m {\displaystyle n\times m} 行列 A {\displaystyle {\textbf {A}}} が存在することを意味する。この A {\displaystyle {\textbf {A}}} を、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle {\textbf {p}}} における微分という。 x − p = h {\displaystyle {\textbf {x}}-{\textbf {p}}={\textbf {h}}} とおくと、次のようにも表せる。 lim h → 0 ‖ f ( p + h ) − f ( p ) − A h ‖ | | h | | = 0 {\displaystyle \quad \ \displaystyle \lim _{{\textbf {h}}\to {\textbf {0}}}{\dfrac {\|f({\textbf {p}}+{\textbf {h}})-f({\textbf {p}})-A{\textbf {h}}\|}{||{\textbf {h}}||}}=0}
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