微分による解法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/25 08:39 UTC 版)
「レギオモンタヌスの問題」の記事における「微分による解法」の解説
現在、この問題は多くの初年度向けの解析の教科書（例えばステュアート）に演習問題として載っていることから広く知られている。 a = 絵画の下端の高さ b = 絵画の上端の高さ x = 壁からの距離 α = 鑑賞者から見た絵画の下端の仰角 β = 鑑賞者から見た絵画の上端の仰角 とする。最大化したい角度は β − α である。この角度の増減はその正接の増減と一致するから、 tan ( β − α ) = tan β − tan α 1 + tan β tan α = b x − a x 1 + b x ⋅ a x = ( b − a ) x x 2 + a b {\displaystyle \tan(\beta -\alpha )={\frac {\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }}={\frac {{\frac {b}{x}}-{\frac {a}{x}}}{1+{\frac {b}{x}}\cdot {\frac {a}{x}}}}=(b-a){\frac {x}{x^{2}+ab}}} の最大化を考えればよく、b − a は正の定数だから分数の部分を最大化すればよい。微分すると d d x ( x x 2 + a b ) = a b − x 2 ( x 2 + a b ) 2 { > 0 if 0 ≤ x < a b , = 0 if x = a b , < 0 if x > a b {\displaystyle {d \over dx}\left({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)={\frac {ab-x^{2}}{(x^{2}+ab)^{2}}}\qquad {\begin{cases}{}>0&{\text{if }}0\leq x<{\sqrt {ab\,{}}},\\{}=0&{\text{if }}x={\sqrt {ab\,{}}},\\{}<0&{\text{if }}x>{\sqrt {ab\,{}}}\end{cases}}} となるから、x が 0 から √ab の範囲で増加、√ab 以上の範囲で減少する。よって x = √ab （ a と b の幾何平均）のとき最大になる。
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