微分による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/03 14:17 UTC 版)
証明 — 関数の微分を用いた証明を示す。実変数 x の関数 f (x) を次のように定義する。 f ( x ) = d e f ( cos x − i sin x ) ⋅ e i x . {\displaystyle f(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}.} (1) f (x) を形式的に微分すると以下のようになる。 f ′ ( x ) = ( cos x − i sin x ) ′ ⋅ e i x + ( cos x − i sin x ) ⋅ ( e i x ) ′ (Leibniz's rule) = ( − sin x − i cos x ) ⋅ e i x + ( cos x − i sin x ) ⋅ i e i x = { ( − sin x − i cos x ) + ( i cos x + sin x ) } ⋅ e i x ( i 2 = − 1 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(\cos x-i\sin x)'\cdot e^{ix}+(\cos x-i\sin x)\cdot (e^{ix})'\qquad {\mbox{(Leibniz's rule)}}\\&=(-\sin x-i\cos x)\cdot e^{ix}+(\cos x-i\sin x)\cdot ie^{ix}\\&=\left\{(-\sin x-i\cos x)+(i\cos x+\sin x)\right\}\cdot e^{ix}\qquad (i^{2}=-1)\\&=0\end{aligned}}} したがって、すべての実数 x について f' (x) = 0 が成り立つ。これは f (x) が定数関数であることと同値である。よって f (x) = f (0) より、 f ( x ) = ( cos 0 − i sin 0 ) ⋅ e i ⋅ 0 = 1 {\displaystyle f(x)=(\cos 0-i\sin 0)\cdot e^{i\cdot 0}=1} (2) となる。(2) を (1) に代入すると次のようになる。 ( cos x − i sin x ) ⋅ e i x = 1. {\displaystyle (\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}=1.} (3) ここで (3) の両辺に、(cos x - i sin x) の複素共役 (cos x + i sin x) を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 sin2x + cos2x = 1 よりオイラーの公式が得られる。 e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.} 証明 — 別の証明として、実変数 x の関数 f (x) を次のように定義する。 f ( x ) = d e f ( cos x + i sin x ) ⋅ e − i x . {\displaystyle f(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}.} (4) f (x) を x について微分すると以下のようになる。 f ′ ( x ) = ( cos x + i sin x ) ′ ⋅ e − i x + ( cos x + i sin x ) ⋅ ( e − i x ) ′ (Leibniz's rule) = ( − sin x + i cos x ) ⋅ e − i x − ( cos x + i sin x ) ⋅ i e − i x = ( − sin x + i cos x − i cos x + sin x ) ⋅ e − i x ( i 2 = − 1 ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(\cos x+i\sin x)'\cdot e^{-ix}+(\cos x+i\sin x)\cdot (e^{-ix})'\qquad {\mbox{(Leibniz's rule)}}\\&=(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot ie^{-ix}\\&=(-\sin x+i\cos x-i\cos x+\sin x)\cdot e^{-ix}\qquad (i^{2}=-1)\\&=0.\end{aligned}}} したがって、すべての実数 x について f' (x) = 0 が成り立つ。ゆえに f (x) は定数である。よって f (x) = f (0) より f ( x ) = ( cos 0 + i sin 0 ) ⋅ e − i ⋅ 0 = 1 {\displaystyle f(x)=(\cos 0+i\sin 0)\cdot e^{-i\cdot 0}=1} (5) が成り立つ。(5) を (4) に代入すると ( cos x + i sin x ) ⋅ e − i x = 1 {\displaystyle (\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}=1} が導出される。この両辺に eix を掛け、任意の複素数 a, b に対して成り立つ指数法則 eaeb = ea + b を利用すれば e i x = ( cos x + i sin x ) ⋅ e i x e − i x = ( cos x + i sin x ) ⋅ e ( i x − i x ) = ( cos x + i sin x ) ⋅ e 0 = ( cos x + i sin x ) ⋅ 1. {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{ix}e^{-ix}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{(ix-ix)}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{0}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot 1.\end{aligned}}} 以上より e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
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