微分を用いた根の持ち上げ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/10 16:16 UTC 版)
「ヘンゼルの補題」の記事における「微分を用いた根の持ち上げ」の解説
f ( x ) {\displaystyle f(x)} を整数（または p 進整数）を係数とする多項式とし、m と k をm ≤ kを満たす正の整数とする。整数 r に対して f ( r ) ≡ 0 mod p k and f ′ ( r ) ≢ 0 mod p {\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}} が成り立ったとする。このとき、任意の m > 0 {\displaystyle m>0} に対してある整数 s が存在して f ( s ) ≡ 0 mod p k + m and r ≡ s mod p k {\displaystyle f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\quad {\text{and}}\quad r\equiv s{\bmod {p}}^{k}} が成り立つ。この s は法pk+mで一意であり、次の式 s = r − f ( r ) ⋅ a {\displaystyle s=r-f(r)\cdot a} で具体的に計算できる整数である。ここで a {\displaystyle a} は次の式 a ≡ [ f ′ ( r ) ] − 1 mod p m {\displaystyle a\equiv [f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}} を満たす整数である。先程の式で s を定めれば、 f ( r ) ≡ 0 mod p k {\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}} なので条件 s ≡ r mod p k {\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}} は満たされている。なお、 f ′ ( r ) ≡ 0 mod p {\displaystyle f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}} であるときは、持ち上げ s は存在しないかもしれないし複数存在するかもしれない（あとで「#ヘンゼル持ち上げ」で例示する）。
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