微分と積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/11 13:00 UTC 版)
関数が冪級数として与えられると、それは収束領域の内部で微分可能である。それは極めて容易に微分および積分ができる。各項ごとに扱えばよい： f ′ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n n ( x − c ) n − 1 = ∑ n = 0 ∞ a n + 1 ( n + 1 ) ( x − c ) n {\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}} ∫ f ( x ) d x = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n + 1 n + 1 + k = ∑ n = 1 ∞ a n − 1 ( x − c ) n n + k . {\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.} これらの級数はどちらももとの級数と同じ収束半径を持つ。
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