微分による判定法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/16 08:54 UTC 版)
分離性はケーラー微分を使い研究することができる。F を体 k の有限生成体拡大（英語版）とする。このとき dim F Der k ( F , F ) ≥ t r . d e g k F {\displaystyle \dim _{F}\operatorname {Der} _{k}(F,F)\geq \operatorname {tr.deg} _{k}F} ただし等号成立と F が k 上分離的であることは同値。 とくに、F/k が代数拡大であれば、Derk(F, F) = 0 と F/k が分離的であることは同値である。 D 1 , . . . , D m {\displaystyle D_{1},...,D_{m}} を Derk(F, F) の基底とし a 1 , . . . , a m ∈ F {\displaystyle a_{1},...,a_{m}\in F} とする。このとき F が k ( a 1 , . . . , a m ) {\displaystyle k(a_{1},...,a_{m})} 上分離代数的であることと行列 D i ( a j ) {\displaystyle D_{i}(a_{j})} が可逆であることは同値である。とくに、 m = t r . d e g k F {\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{k}F} であるとき、上の { a 1 , . . . , a m } {\displaystyle \{a_{1},...,a_{m}\}} は分離超越基底 (separating transcendence basis) と呼ばれる。
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