複素共役とは? わかりやすく解説

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ふくそ‐きょうやく【複素共役】

読み方:ふくそきょうやく

共役複素数


複素共役

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/01/29 05:45 UTC 版)

複素数 z の複素共役 z を取る操作は、複素数平面では実軸対称変換に当たる。

数学において、複素共役複素共軛、ふくそきょうやく、: complex conjugate)とは、複素数の虚部を反数にした複素数をとる操作(写像)のことである。複素数 z共役複素数を記号で z で表す[注釈 1]

複素数 z = a + bia, b実数i虚数単位)の共役複素数 z


複素共役(共役複素数)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/12/21 13:52 UTC 版)

複素数」の記事における「複素共役(共役複素数)」の解説

詳細は「複素共役」を参照 複素数 a + bi に対して虚部 b を反数にした複素数 a − bi を z の共役きょうやくconjugate, 本来は共軛複素数といい、記号で z(または z*)と表す。 z = Re zi Im z z と z を複素共役あるいは単に共役という。 複素数共役をとる複素関数 ・ : C → C ; z ↦ z は環同型である。すなわち次が成り立つ。 z + w = z + w zw = z w 複素共役は実数変えない: z が実数z = z 逆に、C 上の環準同型写像で、実数変えないものは、恒等写像か複素共役変換限られる。 複素共役変換 ・ : C → C ; z ↦ z は、C の全ての点で複素微分不可能である。 以下の性質成り立つ。 z が実数z = z z純虚数 ⇔ z = −z ≠ 0 z ± w = z ± w(複号同順zw = z w ( z w ) ¯ = z ¯ w ¯ {\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}} z n ¯ = ( z ¯ ) n {\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n}} (n は整数) z ¯ ¯ = z {\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z} (対合) |z| = |z| zz = |z|20 以外の複素数逆数は、絶対値共役表せる: 1 z = z ¯ | z | 2   ( z ≠ 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\ (z\neq 0)} z + z = 2 Re z z − z = 2i Im z 代数方程式の解について、次が成り立つ: 「実係数多項式 P(x)虚数根 α をもつならば、α も P(x)虚数根である」 つまり、 実係数多項式 P(x) について、P(α) = 0 ⇔ P(α) = 0 (1746年ダランベール) このことは、複素共役変換環準同型であることから容易に示せる。

※この「複素共役(共役複素数)」の解説は、「複素数」の解説の一部です。
「複素共役(共役複素数)」を含む「複素数」の記事については、「複素数」の概要を参照ください。

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