代数方程式の解について
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/12 07:54 UTC 版)
「Arithmetica Universalis」の記事における「代数方程式の解について」の解説
以下に複素数根の個数について該当する記述を引用する。 CXIX. Where there are none of the Roots of the Equation impossible, the Number of the affirmative and negative Roots may be known from the Signs of the Terms of the Equation. For there are so many affirmative Roots, as there are Changes of the Signs in continual Series from + to −, and from − to +; the rest are negative. As in the Equation x4 − x3 − 19xx + 49x − 30 = 0, where the Signs of the Terms follow one another in this Order, + − − + −, the Variations of the second − {\displaystyle -} from the first + {\displaystyle +} , of the fourth + {\displaystyle +} from the third − {\displaystyle -} , and of the fifth − {\displaystyle -} from the fourth + {\displaystyle +} , shew, that there are three affirmative Roots, and consequently, that the fourth is a negative one. But where some of the Roots are impossible, the Rule is of no Force; unless as far as those impossible Roots, which are neither negative nor affirmative, may be taken for ambiguous ones. Thus in the Equation x3 + pxx + 3ppx − q = 0; the Signs shew that there is one affirmative Root and two negative ones. Suppose x = 2p, or x − 2p = 0; and multiply the former Equation by this, x − 2p = 0, that one affirmative Root more may be added to former; and you will have this Equation, x 4 − p x 3 + p p x x − 6 p 3 − q x + 2 p q = 0 , {\displaystyle x^{4}-px^{3}+ppxx\left.{\begin{array}{l}-6p^{3}\\-q\end{array}}\right.x+2pq=0,} which ought to have two affirmative and two negative Roots; yet it has, if you regard the Change of the Signs, four affirmative ones. There are therefore two impossible ones, which, for their Ambiguity, in the former Case seem to be negative ones; in the latter, affirmative ones. But you may know almost, by this Rule, how many Roots are impossible. — Sir Isaac Newton, Theaker Wilder、 Universal Arithmetick, Of the Nature of the Roots of Equations, 1769. この部分を日本語訳すると以下のようになる。 百十九. 方程式が不可能な根 (複素数根, impossible Roots) を持たなければ、正の根 (affirmative Roots) と負の根の個数はその方程式の各項の符号から分かるだろう。正の根は、符号の列が + から −、または − から + へ変化する数だけあり、残りは負の根である。方程式 x4 − x3 − 19x2 + 49x − 30 = 0 について、各項に対する符号を + − − + − というように並べると、符号の変化は一番目 + から二番目 −、三番目 − から四番目 +、四番目 + から五番目 − にあり、すなわち正の根が 3 つあり、従って 4 つ目の根は負である。しかし方程式が不可能な根を持つ場合には、それらの不可能な根が、正でも負でもなく曖昧なもの (ambiguous ones) となり得る限りは、この規則は力を持たない。例えば、方程式 x3 + px2 + 3p2x − q = 0 は、符号より 1 つの正の根と 2 つの負の根を持つ。ここで x = 2p、あるいは x − 2p = 0、として先の方程式に掛けると、方程式の正の根は 1 つ増え、次の方程式が得られる。 x 4 − p x 3 + p 2 x 2 − ( 6 p 3 + q ) x + 2 p q = 0 , {\displaystyle x^{4}-px^{3}+p^{2}x^{2}-\left(6p^{3}+q\right)x+2pq=0,} この方程式は 2 つの正の根と 2 つの負の根を持たなくてはならないが、符号の変化から判断するには、4 つの正の根を持つことになる。従って、符号の曖昧さから、2 つの不可能な根があって、それらは初めの方程式においては負であり、後の方程式では正である。しかし、この規則から、いくつの根が不可能であるかをまったく知ることができるだろう。
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