代数曲線の因子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/27 08:51 UTC 版)
「因子 (代数幾何学)」の記事における「代数曲線の因子」の解説
C が非特異な代数曲線の場合、因子は D = ∑ P ∈ C n P P , n P ∈ Z {\displaystyle D=\sum _{P\in C}n_{P}P,n_{P}\in \mathbb {Z} } の形の形式的和である。ただし n P は有限個の点 P を除いて0であるとする。 L(D) の次元を l(D) とかく。D ≤ E ならば L(D) は L(E) の部分空間で、 l ( E ) − l ( D ) ≤ deg ( E − D ) {\displaystyle l(E)-l(D)\leq \deg(E-D)} が成り立つ。また D と E が線型同値ならば l(D) = l(E) が成り立つ。 deg(D)<0 ならば L(D) に属する有理関数は 0 しかない。また L(0) は定数関数全体と一致する。 deg(D) ≥ 0 ならば l ( D ) ≤ deg ( D ) + 1 {\displaystyle l(D)\leq \deg(D)+1} l ( D ) ≥ deg ( D ) + 1 − g {\displaystyle l(D)\geq \deg(D)+1-g} が成り立つ。このような性質を満たす最小の整数 g は C の種数と一致する。 局所助変数（英語版） t に対し、有理型1形式 ω = f dt ≠ 0 の因子 (ω) を (ω) = (f) で定義する。この因子は局所助変数の取り方によらずに定まる。大域的な有理型1形式の因子を標準因子 (canonical divisor) と呼ぶ。任意の有理型1形式の因子は線型同値なので、標準因子は線型同値を除いて一意に定まる（よって、標準因子と呼ぶ）。 標準因子 K をとると、任意の因子 D に対し l ( D ) − l ( K − D ) = deg ( D ) + 1 − g {\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg(D)+1-g} が成り立つ（代数曲線に対するリーマン–ロッホの定理）。
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