部分空間
部分空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/18 10:08 UTC 版)
ほかの条件 K {\displaystyle K} で条件付けした部分空間でも、同様の規則が成立する。 例えば、 X ⊥ ⊥ Y ⟹ Y ⊥ ⊥ X {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\quad \implies \quad Y\perp \!\!\!\perp X} に関しては、 X ⊥ ⊥ Y ∣ K ⟹ Y ⊥ ⊥ X ∣ K {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid K\quad \implies \quad Y\perp \!\!\!\perp X\mid K} が成立する。
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部分空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/15 04:30 UTC 版)
アフィン空間 A の部分集合 S に対し、付随するベクトル空間 V(S) がアフィン結合に関して閉じているとき、S を A の部分アフィン空間あるいはアフィン部分空間または単に部分空間であるという。もう少しはっきり述べれば、アフィン空間 (A, V) に対し、A の部分集合 S, V の k-次元部分線型空間 W の組 (S, W) がふたたびアフィン空間となるとき、(S, W) をアフィン空間 (A, V) の r-次元部分アフィン空間という。またこのとき、W = V(S) あるいは W = Vect(S) などとあらわし、W の元を S 上のベクトルとよぶ。 部分アフィン空間 S は、任意の一点 p を固定することにより、点 p の S 上のベクトルによる平行移動で得られる点の全体として S = p + W {\displaystyle S=\mathbf {p} +W} と書くことができる。 1-次元の部分アフィン空間を直線（アフィン直線）、2-次元の部分アフィン空間を平面（アフィン平面）などとよぶ。また、余次元 1 すなわち (n − 1)-次元の部分空間を超平面とよび、これらを総称して線型多様体という。 V = (A, O) のベクトルの集合 X = {v1, v2, ..., vr} が与えられたとき、これらのアフィン結合全体からなる集合 span K aff ( X ) := { c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c r v ∣ c 1 + c 2 + ⋯ + c r = 1 , c i ∈ K } {\displaystyle {\text{span}}_{K}^{\text{aff}}(X):=\left\{c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {v} \mid c_{1}+c_{2}+\cdots +c_{r}=1,\,c_{i}\in K\right\}} は V のアフィン部分空間であり、ベクトルの集合 X のアフィン包 (affine hull) という。X が生成するあるいは張るアフィン部分空間ということもある。
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部分空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/02 09:20 UTC 版)
(S, V) を n-次元ユークリッド空間とする。S の部分集合 T が、S のある点 P と V のある r-次元部分空間 W を用いて（r ≤ n）、 T = { Q ∈ S ∣ P Q → ∈ W } {\displaystyle T=\{Q\in S\mid {\overrightarrow {PQ}}\in W\}} と表されるとき、T は (S, V) の r-次元部分空間であるという。特に、1次元部分空間を直線（アフィン部分直線）、2次元部分空間を平面（アフィン部分平面）と呼ぶ。(S, V) の部分空間 T に対して、上のような P ∈ S は一つには決まらないが、W は一意的に定まる。そこで、この W を T に付随する内積空間と呼ぶ。
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部分空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/18 06:54 UTC 版)
W を V の部分空間とする。W の斜交補空間を、 W ⊥ = { v ∈ V ∣ ∀ w ∈ W : ω ( v , w ) = 0 } {\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V\mid \forall w\in W:\omega (v,w)=0\}} と定義する。斜交補空間は、 ( W ⊥ ) ⊥ = W {\displaystyle (W^{\perp })^{\perp }=W} および dim W + dim W ⊥ = dim V {\displaystyle \dim W+\dim W^{\perp }=\dim V} をみたす。しかし、直交補空間と異なり、W⊥ ∩ W が {0} になる必要はない。以下で、4 つに分類する。 W⊥ ∩ W = {0} のとき、W は斜交的（英: symplectic）であるという。これは、ω の Wへの制限が非退化形式であるとき、かつそのときに限り成り立つ。この制限された形式を有する斜交部分空間は、それ自体が斜交ベクトル空間となる。 W ⊆ W⊥ のとき、W は等方的（英: isotropic）であるという。これは、ω の W への制限が 0 あるとき、かつそのときに限り成り立つ。任意の一次元部分空間は、等方的である。 W⊥ ⊆ W のとき、W は余等方的（英: coisotropic）であるという。これは、ω が商空間 W / W⊥ の非退化形式に移るとき、かつそのときに限り成り立つ。同様に、W⊥ が等方的、かつそのときに限り、W は余等方的である。余次元が 1 の任意の部分空間は、余等方的である。 W = W⊥ のとき、W はラグランジュ的（英: Lagrangian）であるという。部分空間は、等方的かつ余等法的であるとき、かつそのときに限り成りラグランジュ的である。有限次元ベクトル空間において、ラグランジュ的部分空間は、V の次元の半分の次元を持つ等方部分空間である。任意の等方部分空間は、ラグランジュ的部分空間に拡張できる。 上記の標準的ベクトル空間 R2n に照らすと、 {x1, y1} の張る部分空間は、斜交的である。 {x1, y2} の張る部分空間は、等法的である。 {x1, x2, ... xn, y1} の張る部分空間は、余等法的である。 {x1, x2, ... xn} の張る部分空間は、ラグランジュ的である。
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「部分空間」の例文・使い方・用例・文例
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