位相空間論

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位相空間論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/29 14:46 UTC 版)

位相空間論（いそうくうかんろん、英: general topology）とは、位相空間の性質やその上に定義される構造（位相的構造）を研究対象とする数学の分野である。一般トポロジー、点集合トポロジー（point-set topology）などの名称で言及されることもある。

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位相空間論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/18 00:35 UTC 版)

「射影 (集合論)」の記事における「位相空間論」の解説

各添字 i ∈ I に対する集合 Xi が位相空間であるとき、デカルト積 XI 上の積位相は全ての射影 πj を連続にする最も弱い位相（英語版）（開集合が最も少ない位相）をいう。このとき、Uj が Xj の開集合であるときの円筒集合 π −1j (Uj) 全体の成す集合が、積空間 XI の準開基（英語版）を成す。積空間を以下のような圏論的直積の普遍性によって特徴づけることもできる: 積位相空間の普遍性 任意の位相空間 Y と連続写像の族 fj: Y → Xj (j ∈ I) の組が与えられれば、一意的な連続写像 f: Y → XI が存在して πj ∘ f = fj が任意の j に対して成立する。 逆に、与えられた写像 f: Y → XI が連続ならば、任意の射影 πj ∘ f は連続である。連続性に加えて、任意の射影 πj ∘ XI → Xj は開写像、すなわち積空間 XI の各開部分集合 W ⊂ XI の射影像が Xj の開集合となる。ただし、逆は成り立たない: すなわち積空間の部分集合 W ⊂ XI の射影 πj: W → Xj がすべて開でも、W は XI において開とは限らない。射影 πj: XI → Xj は一般には完備でもない。

位相空間論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/10 07:31 UTC 版)

「埋め込み (数学)」の記事における「位相空間論」の解説

位相空間論において、埋め込みとは、像の上への同相写像のことである。つまり、位相空間 X と Y の間の単射連続写像 f: X → Y であって、（f(X) には Y の相対位相を入れて）f が X と f(X) の間の同相写像であるようなもののことである。 与えられた空間 X に対し、埋め込み X → Y の存在は X の位相的性質である。これによって2つの位相空間を、一方がある空間に埋め込めて他方はできないならば、区別することができる。