共通部分_(数学)

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共通部分 (数学)

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数学において、集合族の共通部分（きょうつうぶぶん、英: intersection, meet）とは、与えられた集合の集まり（族）全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。

共通集合（きょうつうしゅうごう）、共通分^[1]（きょうつうぶん）、交叉（こうさ）、交差（こうさ）、交わり（まじわり）、積集合（せきしゅうごう）、積（せき）^[2]などとも呼ばれる。

ただし、積集合は直積集合の意味で用いられることが多い^[要出典]。

定義

二つの集合の交叉

共通部分のベン図による視覚化

集合 A, B の交わりは A ∩ B と記される^[5]。これは

x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A かつ x ∈ B

ということであり、記号では

A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B }

と書ける。A ∩ B に含まれるような元が存在するとき A と B とは互いに交わるあるいは交わりを持つという。

また、そのような元の存在しないとき A と B は互いに素であるまたは交わりを持たない (disjoint) といい、

A ∩ B = ∅

と書く。ただしここで、 ∅ は空集合を表す。

有限個の交叉

有限個の集合 M₁, … M_k の交わり

${\displaystyle M_{1}\cap M_{2}\cap \cdots \cap M_{k}}$ カテゴリ