位相空間の一様化可能性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
上で一様空間には必ず位相構造が入る事を見たが、逆に位相空間上にそれと両立する一様構造が入る条件は以下のとおりである： 定理 (位相空間の一様化可能性) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} に対し、以下は同値である： X上の一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が存在し、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} は U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める一様構造と一致する ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} は完全正則空間（詳細下記）である。 ここで位相空間の完全正則性は分離公理の一つであり、以下のように定義づけられる： 定理 (完全正則性) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} が完全正則であるとは、任意の点z ∈ Xとzを含まない任意の閉集合F ⊂ Xに対し、連続関数 φ : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \varphi ~:~X\to [0,1]} で、 φ ( x ) = { 1 if x = z 0 if x ∈ F {\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x=z\\0&{\text{if }}x\in F\end{cases}}} を満たすものが存在する事をいう。 完全正則でない位相空間は一様化可能ではないが、「準一様化」は可能である。なお下記の定理において「準一様構造の定める位相」は「一様構造が定める位相」と同様に定義する。 定理 (任意の位相空間は準一様化可能) ― 任意の位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} に対し、Xの準一様構造 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} で Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} が定める位相が O {\displaystyle {\mathcal {O}}} に一致するものが必ず存在する。
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