位相空間と超フィルター

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位相空間と超フィルター

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/14 14:14 UTC 版)

「超フィルター」の記事における「位相空間と超フィルター」の解説

位相空間 X 上のフィルター U が x ∈ X に収束するとは U が x の近傍系 Nx の拡張に成っていることをいう。このとき x に収束する X 上の超フィルターの共通部分は Nx と一致する。 位相空間 X の閉集合全体からなる集合族 C(X) は空集合を最小元として持つ束である。よって有限交叉的な閉集合族が与えられたとき C(X) 上にその有限交叉族を含む超フィルターが存在する。f: X → Y を位相空間 X, Y 間の連続写像、U を C(X) 上の超フィルターとしたとき、fc[U] := {A ∈ C(Y) : f−1(A) ∈ U} は C(Y) 上の超フィルターとなる。 C(X) 上の超フィルター全体はウォールマンのコンパクト化と呼ばれるコンパクト化を与える。これ以外にも位相空間上の様々な集合族に各種の順序を与えるた順序集合上の超フィルターを考えることで各種のコンパクト化が構成できる。 基本性質 位相空間の間の写像 f: X → Y が連続 ⇔ 超フィルター U が x に収束するならば f[U] は f(x) に収束する。 位相空間がハウスドルフ ⇔ 各超フィルターの収束先は高々一つ。 位相空間がコンパクト ⇔ 超フィルターは必ず収束する ⇔ C(X) 上の超フィルターの共通部分は空でない。 一様空間が全有界 ⇔ 超フィルターは必ずコーシーフィルターとなる。