超フィルター
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/14 14:14 UTC 版)
数学において、超フィルター（ちょうフィルター、英: ultrafilter）または極大フィルター（きょくだいフィルター、英: maximal filter）とは順序集合上で定義されたフィルターの中で極大なものをいう。特にブール代数上では超フィルターは素フィルターに一致する。 超フィルターは位相空間論や集合論における最も基本的な概念の一つであり、また多くの分野に応用を持っている。 冪集合は包含関係で自然に順序集合となる。 集合 X の冪集合 P(X) 上の超フィルターは単に X 上の超フィルターとも呼ばれる。X 上の超フィルターは X 上ですべての集合に対して定義された非自明な二値有限加法的測度と同一視することが出来る。この時 X 上の集合は測度の意味で殆ど全体（測度が 1）か殆ど元を含まない（測度が 0）のいずれかに分けられる。
注釈
- ^ upper set,upper closure,upward colsure など英語ではいくつも呼び名があるが日本語での決まった呼び名はない。
- ^ U ∈ Ult(L1) に対し、V ∈ Ult(B1) で U := V ∩ L1 となるものが存在。このとき f −1
|L0 (U) = f −1
|L0 (V ∩ L1) = f−1(V) ∩ f−1(L1) ∩ L0 = f−1(V) ∩ L0 ∈ Ult(L0)}. - ^ P(X) 上の超フィルターで Pfin(X) に制限した時に空集合にも全体にもならないのは P(X) 上の単項フィルターのみ。
- ^ Ult(X) は X に離散位相を入れた時の、ストーンチェックコンパクト化になっている。
- ^ 基数がウラム可測であることと、それ以下の非可算可測基数が存在することが同値
- ^ 常に U × V = r[V × U] となることに注意
- ^ さもなくばある「独裁者」が存在し F はその独裁者に依って生成されている
出典
- ^ 児玉 & 永見 1974, 第四章.
- ^ Bridson & haefliger 1999, pp. 77-79.
- ^ 江田 2010.
[続きの解説]
「超フィルター」の続きの解説一覧
- 1 超フィルターとは
- 2 超フィルターの概要
- 3 位相空間と超フィルター
- 4 注
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