いそう‐くうかん〔ヰサウ‐〕【位相空間】
位相空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/14 23:08 UTC 版)
数学における位相空間（いそうくうかん、英語: topological space）とは、集合Xに位相（topology）と呼ばれる構造を付け加えたもので、この構造はX上に収束性の概念を定義するのに必要十分なものである[注 1]。
注釈
- ^ a b ただしここで言う「収束性」は点列の収束性ではなくより一般的な有向点族の収束性である。
- ^ a b c ℓpノルム、Lpノルム、に関連するノルムとして、ℓpノルム 、 L∞ノルム、 があり、これらは、でp→∞としたものに一致する。同様にソボレフノルムでp→∞としたノルム も定義可能である。
- ^ 距離から定まる位相はハウスドルフ性と正規性を満たすが、密着位相はハウスドルフ性を満たさない。また補有限位相や補可算位相においては空でない任意の開集合の閉包は全体集合であるため、任意x, y ∈ Xの任意の閉近傍は全体集合になってしまう為正規性を満たさない。
- ^ ザリスキー位相はハウスドルフ性を満たさないから。
- ^ より厳密に言うと、有向集合(Λ,≤)と、ΛからXへの写像x : Λ→Xの組の事をΛを添字集合とする有向点族と呼ぶ
![{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|}](http://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ec8d3328fafa9f77e55d0026a5792242d213f5)
![{\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{\ell <k}\sup _{x\in [0,1]}|f^{(\ell )}(x)|}](http://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1712020c28b95b384db1d13e58260ba53a3c0bb3)
出典
- ^ 平場誠示. “解析学III 関数解析”. 東京理科大学. p. 6. 2021年2月5日閲覧。
- ^ a b c d e f g h i j k #内田 pp.68-73.
- ^ a b #内田 p.71.
- ^ a b 位相空間#Kelly p.43.
- ^ a b c d #内田 pp.73-74.
- ^ a b c d e #内田 pp.79-83.
- ^ a b c #Kelly pp.65-66.
- ^ a b #Schechter 7.6
- ^ #Kelly p.70.
- ^ a b c “net”. nLab. 2021年2月8日閲覧。
- ^ a b #Schechter 7.14
- ^ #Kelly p.67.
- ^ a b c Kelly p66
- ^ a b #Kelly p.69.
- ^ a b #Schechter 15.10.節 pp.413-414.
- ^ #Kelly pp.73-75.
- ^ a b c Kelly p86
- ^ #内田 p.95
位相空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/08 16:13 UTC 版)
「モナド (超準解析)」の記事における「位相空間」の解説
位相空間 X {\displaystyle X} の（標準）点 x {\displaystyle x} のモナドとは μ ( x ) = ⋂ { ∗ U ∣ U is a neighborhood of x } {\displaystyle \mu (x)=\bigcap \{{}^{\ast }U\mid U{\text{is a neighborhood of }}x\}} で定義される ∗ X {\displaystyle {}^{\ast }X} の部分集合である。 ∗ X {\displaystyle {}^{\ast }X} の点は、ある標準点のモナドに属するときに、近標準的（nearstandard）であると言われる。
※この「位相空間」の解説は、「モナド (超準解析)」の解説の一部です。
「位相空間」を含む「モナド (超準解析)」の記事については、「モナド (超準解析)」の概要を参照ください。
位相空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 09:32 UTC 版)
点列の収束の概念は、一般の位相空間においても収束先の近傍系をもちいて定式化される。しかし、一般的な位相空間の位相構造は、どんな点列が収束しているかという条件によって特徴付けできるとは限らない。そこで、ネットやフィルターといった、点列を拡張した構成とその収束の概念が必要になる。任意の位相空間 X に対し、X 上で収束している（収束先の情報も込めた）フィルターの全体 CN(X) や、あるいは収束しているフィルターの全体 CF(X) を考えると、これらからは X の位相が復元できる。
※この「位相空間」の解説は、「極限」の解説の一部です。
「位相空間」を含む「極限」の記事については、「極限」の概要を参照ください。
位相空間
「位相空間」の例文・使い方・用例・文例
位相空間と同じ種類の言葉
- 位相空間のページへのリンク
