topological spaceとは - わかりやすく解説 Weblio辞書

位相空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/10 08:48 UTC 版)

数学における位相空間（いそうくうかん、英語: topological space）とは、集合 $X$ に位相（topology）と呼ばれる構造を付け加えたもので、この構造は $X$ 上に収束性の概念を定義するのに必要十分なものである^{[注 1]}。

^ ^a ^b ただしここで言う「収束性」は点列の収束性ではなくより一般的な有向点族の収束性である。
^ ^a ^b ^c ℓ^pノルム $\|v\|_{p}$ 、L^pノルム $\|f\|_{p}$ 、に関連するノルムとして、ℓ^pノルム $\|v\|_{p}=\max _{i}|v_{i}|$ 、 L^∞ノルム、 $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|$ があり、これらは $\|v\|_{p}$ 、 $\|f\|_{p}$ で $p \to\infty$ としたものに一致する。同様にソボレフノルム $\|f\|_{k,p}$ で $p \to\infty$ としたノルム $\|f\|_{k,\infty }=\max _{\ell <k}\sup _{x\in [0,1]}|f^{(\ell )}(x)|$ も定義可能である。
^ 距離から定まる位相はハウスドルフ性と正規性を満たすが、密着位相はハウスドルフ性を満たさない。また補有限位相や補可算位相においては空でない任意の開集合の閉包は全体集合であるため、任意 $x, y \in X$ の任意の閉近傍は全体集合になってしまう為正規性を満たさない。
^ ザリスキー位相はハウスドルフ性を満たさないから。
^ より厳密に言うと、有向集合 $(Λ,\leq)$ と、 $Λ$ から $X$ への写像 $x : Λ \to X$ の組の事を $Λ$ を添字集合とする有向点族と呼ぶ