単体的複体とは？わかりやすく解説

単体複体（たんたいふくたい、英: simplicial complex）（略して複体（ふくたい、英: complex）ということもある）とは、複数の単体を、同じ次元の面（部分単体）同士で貼り合わせてできる図形である。代数的位相幾何学における単体集合は単体複体と混同されやすいが、単体集合は単体複体の圏論的な抽象化であり、単体圏からの関手として定義される概念として区別されるべきである。むしろ単体複体の性質から、各々の単体はその頂点の集合で完全に決定され、複体を頂点全体の集合とその部分集合の族の組として組合せ論的に表示することができる。この様に組合せ論的に表示された複体を抽象単体複体と呼ぶ。

定義

有限個の単体の集合 K が、以下の条件を満たす時、K を単体複体であると言う。

a ∈ K かつ c が a の面ならば c ∈ K である。
a, b ∈ K ならば、a ∩ b は空集合でない限り a の面かつ b の面である。

順序集合としての定義

単体複体は順序集合としても定義され、それは組合せ論的に与えられる抽象単体複体と等価である。順序集合 (X, ≤) が単体的 (simplex-like) であるとは、a ∈ X ならばある有限集合 V_a が存在して

X_{\leq a}=\{f\in X\mid f\leq a\}\simeq {\mathfrak {P}}(V_{a})

主要概念

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