球面型建物
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/27 20:23 UTC 版)
体 F と、V := Fn の非自明な部分線型空間を頂点とするような単体的複体X を考える。ただし、二つの頂点（つまり部分空間）U1, U2 が連結されるのは、一方が他方の部分集合となっているときとする。X の k-次元単体は互いに連結された k + 1 個の部分空間からなる集合であり、連結性が極大となるのは、n − 1 個の部分空間をとったときであり、対応する (n − 2)-次元単体は極大旗（英語版） ( 0 ) ⊂ U 1 ⊂ ⋯ ⊂ U n − 1 ⊂ V {\displaystyle (0)\subset U_{1}\subset \cdots \subset U_{n-1}\subset V} である。低次元単体は中間部分空間 Ui のより少ない部分旗に対応する。 X のアパートを定義するために、V の枠（順序付けられた基底）を定義することは有効である。枠は、基底 {vi} から、その各ベクトル vi のスカラー倍の違いを除いたものとして決まる。別な言い方をすれば、枠は一次元部分空間 Li := Fvi たちの成す集合で、それらのうちの任意のk 個が必ず k-次元部分空間を張るようなものをいう。いま、順序付けられた枠 L1, …, Ln から U i := L 1 ⊕ ⋯ ⊕ L i {\displaystyle U_{i}:=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{i}} とおくことにより極大旗を定める。Li たちの順番を入れ替えたものもやはり枠となるから、Li たちの和として得られるこのような部分空間の全体が球面型建物のアパートに対して初期の型の単体的複体をなすことが直接的に分かる。建物の公理を満足することは、ジョルダン・ヘルダー分解の一意性証明に用いられる古典的なシュライヤーの細分論法（英語版）を用いれば容易に示せる。
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