球面体積要素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 05:07 UTC 版)
ラジアンで角度を表すとき、n 次元ユークリッド空間における体積要素は変換 d n V = | det ∂ ( x i ) ∂ ( r , ϕ j ) | d r d ϕ 1 d ϕ 2 ⋯ d ϕ n − 1 = r n − 1 sin n − 2 ( ϕ 1 ) sin n − 3 ( ϕ 2 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) d r d ϕ 1 d ϕ 2 ⋯ d ϕ n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}\\[6pt]&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}\end{aligned}}} のヤコビアンから見つかるだろう、そして n 次元球の体積の上記の等式は V n = ∫ ϕ n − 1 = 0 2 π ∫ ϕ n − 2 = 0 π ⋯ ∫ ϕ 1 = 0 π ∫ r = 0 R d n V {\displaystyle V_{n}=\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }\int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\int _{r=0}^{R}d^{n}V\,} を積分することによって再び得ることができる。(n − 1) 次元球面の体積要素は、2 次元球面の面積要素を一般化するが、 d S n − 1 V = sin n − 2 ( ϕ 1 ) sin n − 3 ( ϕ 2 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) d ϕ 1 d ϕ 2 ⋯ d ϕ n − 1 {\displaystyle d_{S^{n-1}}V=\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}} によって与えられる。角度座標上の直交基底の自然な選択は j = 1, 2, ..., n − 2 に対してゲーゲンバウアー多項式 ∫ 0 π sin n − j − 1 ( ϕ j ) C s ( ( n − j − 1 ) / 2 ) ( cos ϕ j ) C s ′ ( ( n − j − 1 ) / 2 ) ( cos ϕ j ) d ϕ j = π 2 3 − n + j Γ ( s + n − j − 1 ) s ! ( 2 s + n − j − 1 ) Γ 2 ( ( n − j − 1 ) / 2 ) δ s , s ′ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}(\phi _{j})C_{s}^{((n-j-1)/2)}(\cos \phi _{j})C_{s'}^{((n-j-1)/2)}(\cos \phi _{j})\,d\phi _{j}\\[6pt]&={\frac {\pi 2^{3-n+j}\Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}((n-j-1)/2)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}} の積であり、角度 j = n − 1 に対して球面調和関数と一致して e isφj である。
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