ゲーゲンバウアー多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 08:37 UTC 版)
数学において、ゲーゲンバウアー多項式（ケーゲンバウアーたこうしき、英: Gegenbauer polynomials）または超球多項式 (ultraspherical polynomials) とは、レオポルド・ベルンハルト・ゲーゲンバウアー (1849–1903) にちなんで命名された、区間 上で定義される重み関数 の直交多項式をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、ルジャンドル多項式及びチェビシェフ多項式の一般事例であり、ヤコビ多項式の特殊事例である。
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- 1 ゲーゲンバウアー多項式とは
- 2 ゲーゲンバウアー多項式の概要
- 3 関連項目
ゲーゲンバウアー多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/03/06 05:46 UTC 版)
「直交関数列」の記事における「ゲーゲンバウアー多項式」の解説
関係式 C n ( α ) ( x ) = ( − 2 ) n n ! Γ ( n + α ) Γ ( n + 2 α ) Γ ( α ) Γ ( 2 n + 2 α ) ( 1 − x 2 ) − α + 1 / 2 d n d x n [ ( 1 − x 2 ) n + α − 1 / 2 ] {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right]} ∫ − 1 1 ( 1 − x 2 ) α − 1 2 C m ( α ) ( x ) C n ( α ) ( x ) d x = π 2 1 − 2 α Γ ( n + 2 α ) n ! ( n + α ) [ Γ ( α ) ] 2 δ m n ( m , n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle \int _{-1}^{1}\!(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}C_{m}^{(\alpha )}(x)C_{n}^{(\alpha )}(x)\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\cdots )} を満たす。
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