数学 におけるロドリゲスの公式 (ロドリゲスのこうしき、英 : Rodrigues' formula 、かつてはアイヴォリー=ヤコビの公式 英 : Ivory–Jacobi formula とも)とはルジャンドル多項式 を生成する公式であり、1816年 にオランド・ロドリゲス(英語版 ) 、1824年 にジェームズ・アイヴォリー(英語版 ) 、1827年 にカール・グスタフ・ヤコビ によって独立に発見された。「ロドリゲスの公式」という名前がハイネ によって提唱されたのは1878年 であるが、これは1865年 にエルミート がこの公式の最初の発見者はロドリゲスだと指摘したことによる。
この用語は同様の直交多項式系 の生成公式を示す際にも使われる。
リチャード・アスキー は2005年 にロドリゲスの公式の歴史を詳細に綴った記事を執筆した[1] 。
ステートメント ロドリゲスはルジャンドル多項式 P n ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)} を次のように記述した:
P n ( x ) = 1 2 n n ! ( d d x ) n ( x 2 − 1 ) n {\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}(x^{2}-1)^{n}} スツルム=リウヴィル型微分方程式 の解として得られる直交函数系において同様の公式が成立することも多く、直交多項式系が得られるような場合についてはそれらの公式もロドリゲスの公式と呼ばれる。例えば以下のようなものがある。
ラゲールの多項式 L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)} L n ( x ) = e x ( d d x ) n ( x n e − x ) {\displaystyle L_{n}(x)=e^{x}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}\left(x^{n}e^{-x}\right)} エルミート多項式 H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 ( d d x ) n e − x 2 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}e^{-x^{2}}} ゲーゲンバウアー多項式 C n ( α ) ( x ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)} C n ( α ) ( x ) = ( − 2 ) n n ! Γ ( n + α ) Γ ( n + 2 α ) Γ ( α ) Γ ( 2 n + 2 α ) ( 1 − x 2 ) − α + 1 / 2 ( d d x ) n [ ( 1 − x 2 ) n + α − 1 / 2 ] {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right]} 脚注 ^ Askey, Richard (2005), “The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments” , in Altmann, Simón L.; Ortiz, Eduardo L., Mathematics and social utopias in France: Olinde Rodrigues and his times , History of mathematics, 28 , Providence, R.I.: American Mathematical Society , pp. 105–118, ISBN 978-0-8218-3860-0 , https://books.google.co.jp/books?id=oTyJYUx8Jr4C&pg=PA105&redir_esc=y&hl=ja