ルジャンドル多項式
(ずらしルジャンドル多項式 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/07 03:16 UTC 版)
ルジャンドル多項式（ルジャンドルたこうしき、英: Legendre polynomial）とは、ルジャンドルの微分方程式を満たすルジャンドル関数のうち次数が非負整数のものを言う。直交多項式の一種である。
- ^ 永宮健夫 『応用微分方程式論』、共立出版社、1967年、pp46-52。
- ^ Courant & Hilbert 1953, II, §8
- ^ George B. Arfken, Hans J. Weber (2005), Mathematical Methods for Physicists, Elsevier Academic Press, p. 743, ISBN 0-12-059876-0
- ^ M. Le Gendre, “Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes”, Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées, Tome X, pp. 411-435 (Paris, 1785). [注: ルジャンドルは彼の発見を1782年に科学アカデミーに提出したが、出版されたのは1785年であった。]
- ^ Jackson, J.D. Classical Electrodynamics, 3rd edition, Wiley & Sons, 1999. page 103
- ^ George B. Arfken, Hans J. Weber (2005), Mathematical Methods for Physicists, Elsevier Academic Press, p. 753, ISBN 0-12-059876-0
- ^ 日本測地学会 2004
ずらしルジャンドル多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 02:21 UTC 版)
「ルジャンドル多項式」の記事における「ずらしルジャンドル多項式」の解説
ずらしルジャンドル多項式 (shifted Legendre polynomial) は P ~ n ( x ) = P n ( 2 x − 1 ) {\displaystyle {\tilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)} で定義される。ここで、ずらし写像（実はアフィン変換）x ↦ 2x − 1 は、区間 [0, 1] を区間 [−1, 1] へ写す全単射として選ばれたもので、それゆえ多項式系 ~Pn(x) の区間 [0, 1] 上での直交性 ∫ 0 1 P m ~ ( x ) P n ~ ( x ) d x = 1 2 n + 1 δ m n {\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,\mathrm {d} x={1 \over {2n+1}}\delta _{mn}} が従う。ずらしルジャンドル多項式の明示式は P n ~ ( x ) = ( − 1 ) n ∑ k = 0 n ( n k ) ( n + k k ) ( − x ) k {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}} で与えられる。ロドリゲスの公式のずらしルジャンドル多項式版は P n ~ ( x ) = 1 n ! d n d x n [ ( x 2 − x ) n ] {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right]} となる。ずらしルジャンドル多項式の最初の方のいくつかは以下のようになる。 n P n ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)} 01 1 2 x − 1 {\displaystyle 2x-1} 2 6 x 2 − 6 x + 1 {\displaystyle 6x^{2}-6x+1} 3 20 x 3 − 30 x 2 + 12 x − 1 {\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}
※この「ずらしルジャンドル多項式」の解説は、「ルジャンドル多項式」の解説の一部です。
「ずらしルジャンドル多項式」を含む「ルジャンドル多項式」の記事については、「ルジャンドル多項式」の概要を参照ください。
- ずらしルジャンドル多項式のページへのリンク
