初期値問題
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初期値問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/06 18:27 UTC 版)
「常微分方程式の数値解法」の記事における「初期値問題」の解説
N {\displaystyle N} 個の変数 y = ( y 1 , ⋯ , y N ) ∈ R N {\displaystyle y=(y_{1},\cdots ,y_{N})\in \mathbb {R} ^{N}} に関する1階常微分方程式、すなわち [ t 0 , b ] × R N {\displaystyle [t_{0},b]\times \mathbb {R} ^{N}} （またはその開集合）で定義されたベクトル値連続関数 f ( t , y ) = ( f 1 ( t , y ) , ⋯ , f N ( t , y ) ) {\displaystyle f(t,y)=(f_{1}(t,y),\cdots ,f_{N}(t,y))} により定まる次の方程式 d y d t = f ( t , y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y)} について考える。その初期値問題 (initial-value problem) とは、初期条件 y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y(t_{0})=y_{0}} を満たす関数 y ( t ) {\displaystyle y(t)} を求めることである。関数 f {\displaystyle f} が第2引数についてリプシッツ連続であるとき、すなわち定数 L {\displaystyle L} が存在し ‖ f ( t , y 1 ) − f ( t , y 2 ) ‖ ≤ L ‖ y 1 − y 2 ‖ {\displaystyle \left\|f(t,y_{1})-f(t,y_{2})\right\|\leq L\|y_{1}-y_{2}\|} （ ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} は R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} のノルム）を満たすとき、その初期値問題には解が一意に存在する（ピカール・リンデレフの定理）。本節では常微分方程式の初期値問題を数値的に解くことについて議論する。
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