微分方程式の解とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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微分方程式の解

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/02 13:52 UTC 版)

「順序指数函数」の記事における「微分方程式の解」の解説

順序指数函数を以下の微分方程式の初期値問題 d d t OE ⁡ [ a ] ( t ) = a ( t ) OE ⁡ [ a ] ( t ) , OE ⁡ [ a ] ( 0 ) = 1 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\operatorname {OE} [a](t)=a(t)\operatorname {OE} [a](t),\quad \operatorname {OE} [a](0)=1} のただ一つの解として定義することができる。

※この「微分方程式の解」の解説は、「順序指数函数」の解説の一部です。
「微分方程式の解」を含む「順序指数函数」の記事については、「順序指数函数」の概要を参照ください。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:39 UTC 版)

「漸近展開」の記事における「微分方程式の解」の解説

微分方程式 x 2 y ″ + ( 3 x + 1 ) y ′ + y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+(3x +1)y'+y=0\!} の解は y ( x ) = ∫ 0 ∞ e − t 1 + x t d t {\displaystyle y(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+xt}}dt} で与えられ、 y ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! x n ( x → 0 ) {\displaystyle y(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}\ \ \ \ (x\to 0)} 。という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の x ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle x\neq 0} で収束しないが、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。