微分方程式系での定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2010/05/18 11:58 UTC 版)
「ヘテロクリニック軌道」の記事における「微分方程式系での定義」の解説
で定義された連続力学系を考える。 x = x0 と x = x1 が不動点であり、解φ(t)が次を満たすならば、ヘテロクリニック軌道である。 これは、解軌道がx1の安定多様体とx = x0 の不安定多様体に吹き生まれることを意味している。
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微分方程式系での定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/23 18:18 UTC 版)
「ホモクリニック軌道」の記事における「微分方程式系での定義」の解説
次のような常微分方程式で定義された連続力学系を考える。 x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)} x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} が不動点であり、解 ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} が次を満たすならばホモクリニック軌道である。 ϕ ( t ) → x 0 a s t → ± ∞ {\displaystyle \phi (t)\rightarrow x_{0}\quad \mathrm {as} \quad t\rightarrow \pm \infty } もし、相空間が3次元以上ならば、鞍点上の不安定多様体をより詳しく調べる必要がある。大別して2つの場合について述べる。一つ目は、不安定多様体が幾何学的には円筒型と同相である場合で、二つ目は、不安定多様体が幾何学的には、メビウスの輪と同相である場合である。二つ目のホモクリニック軌道を特に、ねじれていると呼ぶ。 離散力学系についても、ホモクリニック軌道は定義可能である。写像 f : M → M {\displaystyle f:M\rightarrow M} が、多様体 M {\displaystyle M} の微分同相であるとき、 x {\displaystyle x} が同じ未来と過去を持っている、つまりは、不動点または周期点 p {\displaystyle p} が存在する lim n → ± ∞ f n ( x ) = p . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \pm \infty }f^{n}(x)=p.} であるとき、 x {\displaystyle x} をホモクリニックポイントと呼ぶ。
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