じょうびぶん‐ほうていしき〔ジヤウビブンハウテイシキ〕【常微分方程式】
常微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/09 05:07 UTC 版)
常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、英: ordinary differential equation, O.D.E.）とは、微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 x(t) に対して、（既知の）関数 F を用いて
- ^ a b c d e 長島 隆廣 『常微分方程式80余例とその厳密解』 近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京 本館書庫）。
- ^ a b 長島 隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441
- ^ a b c d e f 長島 隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または， https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358
- ^ a b 長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1986年5月号，第25巻，第5号，通巻294号，pp.94-95。
- ^ a b 長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1988年3月号，第27巻，第3号，通巻316号，p.98。
常微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/13 23:42 UTC 版)
常微分方程式 y ( x ) = x d y d x + f ( d y d x ) {\displaystyle y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)} d y d x = d y d x + x d 2 y d x 2 + f ′ ( d y d x ) d 2 y d x 2 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}} 0 = ( x + f ′ ( d y d x ) ) d 2 y d x 2 {\displaystyle 0=\left(x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}} 0 = d 2 y d x 2 {\displaystyle 0={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}} 0 = x + f ′ ( d y d x ) {\displaystyle 0=x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)} y ( x ) = C x + f ( C ) {\displaystyle y(x)=Cx+f(C)\,} という関数の族が得られる。これをクレローの方程式の一般解という。 後者の場合、 0 = x + f ′ ( d y d x ) {\displaystyle 0=x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)} という式からはただひとつの解 y(x) しか得られず、これを特異解と呼ぶ。特異解のグラフは一般解のグラフの包絡線になっている。
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常微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:27 UTC 版)
クラメルの法則は非斉次の線型微分方程式の一般解を定数変化法で導く場合にも利用できる。
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常微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/11 22:02 UTC 版)
次の形に書かれる常微分方程式を考える。 d d x f ( x ) = g ( x ) h ( f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)\,h(f(x))} あるいは y = f (x ) と書くことにより、もっと簡単に d y d x = g ( x ) h ( y ) ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)\qquad \qquad (1)} ここで、h (y ) ≠ 0 のとき、両辺を h (y ) で割って 1 h ( y ) d y d x = g ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)} となる。この両辺を x で積分すると ∫ 1 h ( y ) d y d x d x = ∫ g ( x ) d x + C ( 2 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}dx=\int g(x)\,dx+C\qquad \qquad (2)} で、置換積分の法則により ∫ 1 h ( y ) d y = ∫ g ( x ) d x + C {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}dy=\int g(x)\,dx+C} となる。 この両辺の積分を実行すれば、微分方程式の解が求まる。この手続きは実際のところ、導関数 dy /dx を分数とみなして分母を払うのと同じことである。そうすることによって解くのがもっと簡単になる。具体的なやり方は以下の例で示す。 （注意：両辺の積分に対し ∫ 1 h ( y ) d y + C 1 = ∫ g ( x ) d x + C 2 {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2}} のように積分定数をそれぞれ書く必要はない。これは C = C2 - C1 として定数を一つにまとめることが出来るからである。）
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常微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/04 08:42 UTC 版)
「ルンゲ＝クッタ法#安定性」および「線型多段法」も参照 上述の例の示すように、硬い常微分方程式の近似解を計算するとき、数値的に安定な方法を使うべきである。常微分方程式における数値的安定性に複数の定義が存在する。特に、線型方程式に対する安定性と非線型方程式に対する安定性を分けて考える必要がある。
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常微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/17 14:20 UTC 版)
区間 [t0, t0 + h] 上の常微分方程式の初期値問題を以下のように定める。 y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 . {\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.} 解候補の空間を n 次以下の多項式からなるベクトル空間とし、点 0 ≤ c1 < c2 < ... < cn ≤ 1 を選ぶ（時々、ck も選点と呼ばれるが、方程式の定義域が [0,1] とは限らないので最初に述べた選点とは少し違う定義となる）。 それらの点に対応する選点法による近似（多項式）解 p(t) は、初期値条件 p(t0) = y0 と選点 tk = t0 + ckh (1 ≤ k ≤ n) での微分方程式 p'(tk) = f (tk, p(tk)) を満足する。そのように与えられた方程式の数は n+1 であり、p の未知係数の数と一致する。そのため、近似解は一意に定められる。したがって、最後の時刻 t0 + h での近似解は p(t0 + h) となる。 以上のような方法は実際にすべて陰的ルンゲ＝クッタ法であり、以下のブッチャー配列で与えられる。 c 1 a 11 a 12 ⋯ a 1 n c 2 a 11 a 12 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c n a 11 a 12 ⋯ a n n b 1 b 2 ⋯ b n {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\c_{2}&a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n}&a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{nn}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\end{array}}} この中で、ck は選ばれた点に対応し、bk と akj は以下の公式で与えられる。 b k = ∫ 0 1 q k ( τ ) q k ( c k ) d τ {\displaystyle b_{k}=\int _{0}^{1}{\frac {q_{k}(\tau )}{q_{k}(c_{k})}}d\tau } a k j = ∫ 0 c k q j ( τ ) q j ( c j ) d τ {\displaystyle a_{kj}=\int _{0}^{c_{k}}{\frac {q_{j}(\tau )}{q_{j}(c_{j})}}d\tau } ここで、 q j ( τ ) = ( τ − c j ) − 1 ∏ i = 1 n ( τ − c i ) {\displaystyle q_{j}(\tau )=(\tau -c_{j})^{-1}\prod _{i=1}^{n}(\tau -c_{i})} である。 しかし、陰的ルンゲ＝クッタ法がすべて選点法であるわけではない。
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常微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/22 16:46 UTC 版)
本節では常微分方程式の近似解法について述べる。摂動論によって近似解を得ることができる状況がしばしばあるが、最高階微分項の係数が微小パラメータ ϵ {\displaystyle \epsilon } であるような方程式の場合、 ϵ = 0 {\displaystyle \epsilon =0} とした方程式ともとの方程式が質的に異なる特異摂動問題であり、通常の摂動論によって解くことができない。
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