独立変数と従属変数とは？わかりやすく解説

関数 $y = f (x 1, x 2)$ あるいはそれに似た確率的な関係について、 $x 1, x 2$ を独立変数（どくりつへんすう、英語: independent variable）、 $y$ を従属変数（じゅうぞくへんすう、英語: dependent variable）と言う。統計学・科学の文脈において、対象となる研究等の範囲内で、独立変数は他の独立変数に依存せず自由（あるいは完全に自由というわけではないが自由度が落ちない程度にしか制限されない）な値をとりえて、その独立変数の値に依存して決まる値をとる（あるいは値の分布が絞られる）のが従属変数である、というニュアンスで用いられる。

モデルや実験は、独立変数が従属変数に与える影響を検証するのが主題である。例えば、力学において位置と運動量は独立変数で力は従属変数とされることが多く、統計学において各サイコロの目は独立変数でその平均は従属変数とされ、経営において価格は独立変数で利益は従属変数とされることが多い。

独立変数に依存せず自由な値をとりえて、かつ関係に影響を及ぼすが、測定していない（できない）ため独立変数に含めてない変数を、「共変量」や「交絡因子」と言う。

1変数の微積分では、関数は通常、横軸に独立変数、縦軸に従属変数をとってグラフ化される。この関数では、yは従属変数であり、xは独立変数である。

純粋数学において

数学において、関数とは入力（数または数の集合等）を受け、出力（数または数の集合等）を出す規則である^[1]。入力される数を表す変数は独立変数と呼ばれ、出力される数を表す変数は従属変数と呼ばれる。入力の最も一般的な記号は $x$ であり、出力の最も一般的な記号は $y$ である。関数は通常、 $y = f (x)$ と表される^[2]。

独立変数や従属変数を複数持つことも可能である。例えば、多変数微積分では、 $z = f (x, y)$ の形をした関数にしばしば出会う。ここで、 $z$ は従属変数であり、 $x$ と $y$ は独立変数である。複数の出力を持つ関数は、しばしばベクトル値函数と呼ばれる。

モデル化と統計学・機械学習において

数理モデルでは、従属変数の集合と独立変数の集合との関係が研究される^[要出典]。

一般線形モデル $y i = a + b x i + e i$ において、 $y i$ は従属変数の $i$ 番目の値であり、 $x i$ は独立変数の $i$ 番目の値である。 $e i$ の項は「誤差」であり、独立変数に依らない従属変数の変動を含む^[要出典]。

複数の独立変数がある場合にモデルは $y i = a + b x i,1 + b x i,2 + ... + b x i,n + e i$ , となる。ここで $n$ は独立変数の個数を表す^[要出典]。

統計学、特に線形回帰において、データの散布図が生成され、 $X$ が独立変数、 $Y$ が従属変数として表される。これは二変量データとも呼ばれ、 $(x 1, y 1)(x 2, y 2) ...(x i, y i)$ の形を取る。この一般線形モデルは、 $Y i = a + B x i + U i$ の形を取り、 $i = 1, 2, ... , n$ となる。この場合、 $U i, ... , U n$ は離散型確率変数である。これは、測定値が互いに影響を与えない場合に発生する。独立性の伝播により、 $U i$ の独立性は $Y i$ の独立性を意味するが、各 $Y i$ には異なる期待値がある。各 $U i$ は期待値が0で、分散が $σ 2$ である^[3]。

$E[Y_{i}]=E[\alpha +\beta x_{i}+U_{i}]=\alpha +\beta x_{i}+E[U_{i}]=\alpha +\beta x_{i}.$ カテゴリ

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