じゆう‐ど〔ジイウ‐〕【自由度】
自由度 degrees of freedom
ケース数 n の標本を k 個のカテゴリーに分割する場合,k-1 個のカテゴリーには任意のケースを割り振れるが,残る 1 カテゴリーに割り振れるケース数は必然的に定まる。すなわち,各カテゴリーに該当するケース数の和が n であるとういう制約条件が 1 個あるので,自由に割り振れるカテゴリー数は 1 つ減ることになる。このようなときに,自由度は k-1 であるという。また,n 個の観察値は全体として自由度 n を持つが,Σ(Xi-Xbar)^2 は Xbar=Σ Xi/n という制約条件が 1 つあるので,自由度は n-1 になる。不偏分散が Σ(Xi-Xbar)^2/(n-1) のようにn-1 で割られるのもここに起因する。さらに拡張して考えると,n 個の独立な正規確率変数に基づく統計量の分布,例えば χ2=Σ Xi^2 は自由度 n の カイ二乗分布に従うという。また,ケース数が n1,n2 である 2 群の分散比は,それぞれの不偏分散が自由度 n1-1,n2-1 なので,2 つの自由度 n1-1,n2-1 を持つ F 分布に従う。k × m 分割表においては周辺度数(縦横の合計欄の数値)が決っているので,k × m 個の桝目のうち自由に数値を書込むことのできるのは(k-1)×(m-1)個だけである。この分割表から計算される検定統計量 χ2=ΣΣ (Oij-Eij)^2/Eij は,自由度(k-1)× (m-1)の カイ二乗分布に従う(Oij,Eij は桝目 i,j の観察値と期待値)。平均値の検定に使用される t 分布も,例えば母平均の検定においては t0=(Xbar-μ)/sqrt{Σ(Xi-Xbar)^2/(n-1)/n} なので 自由度 n-1 を持つ(前述のとおり,Σ (Xi-Xbar)^2 の自由度は n-1 である)。
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