エネルギー等配分の法則

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エネルギー等配分の法則

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エネルギー等配分の法則（英語: law of equipartition of energy、エネルギー等配分則、エネルギー等分配則などとも言う）は、系の持つ自由度ごとに一定量のエネルギーが配分されるという統計力学の法則。

古典力学、古典統計が成り立つ理想的な系を考える。この系全体のエネルギーの式（ハミルトニアン）を H とする。相空間の座標のある１つの成分（一般化座標または一般化運動量） ξ_j について、H の項のうち ξ_j が関係する部分 ε_j が次のように表せるとする。

${\displaystyle \epsilon _{j}=\alpha _{j}\xi _{j}^{2}}$

ここで、α_j は適当な正の定数である。熱平衡状態において、このエネルギー ε_j の統計的平均は、

${\displaystyle \left\langle \epsilon _{j}\right\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T}$

となる。k_B はボルツマン定数、T は絶対温度である。

つまり、理想的な系の熱平衡状態において、 1自由度あたりに平均で k_BT /2 の運動エネルギーが割り振られ、 さらに調和振動子と見なせる自由度については 1自由度あたり平均 k_BT /2 のポテンシャルエネルギーが割り振られる。 これをエネルギー等配分の法則と言う。

エネルギー等配分の法則は、エネルギーが上の式で示されるように二次形式で表現できる時に成り立つ（調和近似が成り立つ場合も含まれる）。系において、量子力学的な効果が顕著となる場合や、非調和項が無視できない場合は、この法則は成立しなくなる。

なお、自由度の数え方には、一般化座標と一般化運動量の対を1と数える流儀と、k_BT /2 のエネルギーが分配されるものを1と数える流儀がある。

例

単原子分子理想気体

単原子分子理想気体の個々の分子のエネルギーは、m を当該分子の質量として、

${\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2m}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}$

であり、これより、

${\displaystyle \langle \epsilon \rangle ={\frac {3}{2}}k_{B}T}$

となる。x, y, z 各座標（＝自由度）の運動量であるp_x, p_y, p_z に対応する自由度にエネルギーk_BT/2 が配分されるため。

二原子分子理想気体

この場合、二原子分子の持つエネルギーは、

${\displaystyle \epsilon ={1 \over {2m}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})+{\frac {1}{2I}}\left(p_{\theta }^{2}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}p_{\phi }^{2}\right)}$

となる。上式の最初の括弧部分は、単原子分子の場合と同じ自由度によるエネルギーで、二番目の括弧が、二原子分子の回転に関しての自由度（θとφの2つ存在）からのエネルギーである。θとφは、二原子分子を一つの軸（剛体の棒）とみなした時の回転に関しての角度成分（自由度）である。m は二原子分子の質量、I は二原子分子の重心を通り、二原子分子の軸に対して垂直な軸の周りの回転に関しての慣性モーメントである。

この場合、自由度は合計五つとなるので、

${\displaystyle \langle \epsilon \rangle ={\frac {5}{2}}k_{B}T}$

となる。

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