二次形式
二次形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/13 04:57 UTC 版)
線型空間 V に実数の二次形式 F:V → R があるとき、{ x ∈ V : F(x) = 1 } を V の単位球面と呼ぶことがある。2次元の例として分解型複素数と二元数がある。F が負の値をとるとき、{x ∈ V: F(x) = − 1} を反球 (counter-sphere) と呼ぶ。
※この「二次形式」の解説は、「単位球面」の解説の一部です。
「二次形式」を含む「単位球面」の記事については、「単位球面」の概要を参照ください。
二次形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/13 16:38 UTC 版)
有理数係数の二次形式では、常に局所大域原理が成り立つ。この事実はミンコフスキーが証明し、代数体に拡張した結果をハッセが証明したため、合わせてハッセ–ミンコフスキーの定理と呼ばれる。 例えば、ピタゴラス方程式 x2 + y2 - z2 = 0 は大域解を持つが、少し係数を変えた x2 + y2 + z2 = 0 は非自明な実数解を持たず、x2 + y2 − 3z2 = 0 は非自明な 3-進数解を持たないため、これらは大域解を持たない。一般に、局所解を持つかどうかは判定が可能であるため、ハッセ-ミンコフスキーの定理より、二次形式の場合は大域解を持つかどうかも判定可能である。例に挙げたような3変数の場合の局所大域原理と同値な命題は、ミンコフスキー以前にルジャンドルによっても証明されている。
※この「二次形式」の解説は、「局所大域原理」の解説の一部です。
「二次形式」を含む「局所大域原理」の記事については、「局所大域原理」の概要を参照ください。
二次形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/27 07:38 UTC 版)
有理整数係数の二元二次形式の類数を H(D) (D は、二次形式の判別式) とし、二次体 K = Q ( D ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})} の(代数体としての)類数を、hK とすると、H(D) = hK である。つまり、有理整数係数の二元二次形式の類と、二次形式の判別式で作られる二次体のイデアル類とは、一対一の対応を付けることができる。
※この「二次形式」の解説は、「二次体」の解説の一部です。
「二次形式」を含む「二次体」の記事については、「二次体」の概要を参照ください。
二次形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:54 UTC 版)
V 上の対称双線型形式 b に対して q : V → K を q ( v ) = b ( v , v ) ( v ∈ V ) {\displaystyle q(v)=b(v,v)\qquad (v\in V)} で定める。これを V 上の二次形式という。
※この「二次形式」の解説は、「対称双線型形式」の解説の一部です。
「二次形式」を含む「対称双線型形式」の記事については、「対称双線型形式」の概要を参照ください。
- 二次形式のページへのリンク
